Recordar que cualquier $f \in C^\infty(\mathbb{T}^n)$ puede ser el único escrito como un convergentes serie de Fourier
$$
f = \sum_{\mathbb{k} \in \mathbb{Z}^n} f_{\mathbb{k}} U_{\mathbb{k}}, \quad f_{\mathbb{k}} := \int_{\mathbb{T}^n} e^{-2\pi i \langle \mathbb{k},t \rangle}f(t)\,dt,
$$
donde para cada una de las $\mathbb{k} \in \mathbb{Z}^n$,
$$
\forall t \in \mathbb{T}^n, \quad U_{\mathbb{k}}(t) := e^{2\pi i \langle \mathbb{k},t\rangle}.
$$
Recordemos, además, que la costumbre pointwise multiplicación de funciones se corresponde con el producto de convolución de la serie de Fourier:
$$
\forall f, \; g \in C^\infty(\mathbb{T}^n), \quad fg = \sum_{\mathbb{k} \in \mathbb{Z}} \left(\sum_{\mathbb{k}^\prime \in \mathbb{Z}^n} f_{\mathbb{k}-\mathbb{k}^\prime}g_{\mathbb{k}^\prime} \right)U_{\mathbb{k}}.
$$
En otras palabras, $C^\infty(\mathbb{T}^n)$ es generado por unitaries $\{U_{\mathbb{k}}\}_{\mathbb{k} \in \mathbb{Z}^n}$ la satisfacción de las relaciones
$$
\forall \mathbb{k}, \; \mathbb{k}^\prime \in \mathbb{Z}^n, \quad U_{\mathbb{k}}U_{\mathbb{k}^\prime} = U_{\mathbb{k}+\mathbb{k}^\prime},
$$
lo que implica, a su vez, que
$$
\forall \mathbb{k}, \; \mathbb{k}^\prime \in \mathbb{Z}^n, \quad U_{\mathbb{k}^\prime}U_{\mathbb{k}} = U_{\mathbb{k}}U_{\mathbb{k}^\prime}.
$$
Ahora, supongamos que el $\Theta : \mathbb{Z}^n \times \mathbb{Z}^n \to \mathbb{T} := \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es un (ficticio) $2$-cocycle, es decir, que satisface
- Para todos $\mathbb{k}\in\mathbb{Z}^n$, $\Theta(\mathbb{0},\mathbb{k}) = \Theta(\mathbb{k},\mathbb{0}) = 0$ (la normalización).
- Para todos $\mathbb{p}$, $\mathbb{q}$, $\mathbb{r} \in \mathbb{Z}^n$, $\Theta(\mathbb{p},\mathbb{q}+\mathbb{r}) + \Theta(\mathbb{q},\mathbb{r}) = \Theta(\mathbb{p},\mathbb{q}) + \Theta(\mathbb{p}+\mathbb{q},\mathbb{r})$ ($2$-cocycle condición).
A continuación, puede reemplazar la costumbre de convolución de la serie de Fourier por una deformada de la convolución de la serie de Fourier para obtener la no conmutativa $n$-torus $C^\infty(\mathbb{T}^n_\Theta) := (C^\infty(\mathbb{T}^n),\star_\Theta)$:
$$
\forall f,g \in C^\infty(\mathbb{T}^n), \quad f \star_\Theta g := \sum_{\mathbb{k} \in \mathbb{Z}} \left(\sum_{\mathbb{k}^\prime \in \mathbb{Z}^n} e^{-2\pi i \Theta(\mathbb{k}-\mathbb{k}^\prime,\mathbb{k}^\prime)}f_{\mathbb{k}-\mathbb{k}^\prime}g_{\mathbb{k}^\prime} \right)U_{\mathbb{k}}.
$$
En términos de nuestra unitario generadores $\{U_{\mathbb{k}}\}_{\mathbb{k} \in \mathbb{Z}^n}$, esto se reduce a la definición de
$$
\forall \mathbb{k}, \; \mathbb{k}^\prime \in \mathbb{Z}^n, \quad U_{\mathbb{k}} \star_\Theta U_{\mathbb{k}^\prime} := e^{-2\pi i \Theta(\mathbb{k},\mathbb{k}^\prime}U_{\mathbb{k}+\mathbb{k}^\prime},
$$
que, a su vez, implica las relaciones de conmutación
$$
\forall \mathbb{k}, \; \mathbb{k}^\prime \in \mathbb{Z}^n, \quad U_{\mathbb{k}^\prime} \star_\Theta U_{\mathbb{k}} = e^{2\pi i \theta(\mathbb{k},\mathbb{k}^\prime}U_{\mathbb{k}} \star_\Theta U_{\mathbb{k}^\prime},
$$
donde $\theta : \mathbb{Z}^n \times \mathbb{Z}^n \to \mathbb{T}$ está definido por
$$
\forall \mathbb{k}, \; \mathbb{k}^\prime \in \mathbb{Z}^n, \quad \theta(\mathbb{k},\mathbb{k}^\prime) := \Theta(\mathbb{k},\mathbb{k}^\prime) - \Theta(\mathbb{k}^\prime\mathbb{k}).
$$
Como resulta, $\theta$ es una alternancia de bicharacter, es decir,
- Para todos $\mathbb{k} \in \mathbb{Z}^n$, $\theta(\mathbb{k},\mathbb{k}) = 0$ (alternando).
- Para todos $\mathbb{k} \in \mathbb{Z}^n$, $\mathbb{k}^\prime \mapsto \theta(\mathbb{k},\mathbb{k}^\prime)$ y $\mathbb{k}^\prime \mapsto \theta(\mathbb{k}^\prime,\mathbb{k})$ tanto definir homomorphisms $\mathbb{Z}^n \to \mathbb{T}$ (bicharacter).
Por el contrario, cada alternando bicharacter $\theta : \mathbb{Z}^n \to \mathbb{Z}^n$ puede ser inducida en esta manera de un (ficticio) $2$-cocycle $\Theta : \mathbb{Z}^n \to \mathbb{Z}^n$.
Ahora, ¿qué sucede cuando $\Theta$ e $\Theta^\prime$ tanto inducir la misma alternando bicharacter $\theta$? Es un viejo teorema de Kleppner la que esto ocurre si y sólo si $\Theta$ e $\Theta^\prime$ son cohomologous, es decir, existe cierta $T : \mathbb{Z}^n \to \mathbb{T}$ tal que
$$
\forall \mathbb{k}, \; \mathbb{k}^\prime \in \mathbb{Z}^n, \quad \Theta^\prime(\mathbb{k},\mathbb{k}^\prime) = \Theta(\mathbb{k},\mathbb{k}^\prime) + T(\mathbb{k}) + T(\mathbb{k}^\prime) - T(\mathbb{k}+\mathbb{k}^\prime) ;
$$
en otras palabras, $\Theta^\prime - \Theta = dT$. En ese caso, podemos definir una explícita $\mathbb{T}^n$-equivariant isomorfismo $\Psi_T : C^\infty(\mathbb{T}^n_\Theta) \to C^\infty(\mathbb{T}^n_{\Theta^\prime})$ por
$$
\forall \mathbb{k} \in \mathbb{Z}^n, \quad \Psi_T(U_{\mathbb{k}}) = e^{2\pi i T(\mathbb{k})} U_{\mathbb{k}}.
$$
Por lo tanto, hasta equivariant isomorfismo, para cualquier alternando bicharacter $\theta$ (o, equivalentemente, por Kleppner, para cualquier clase de $\theta \in H^2(\mathbb{Z}^n,\mathbb{T})$ donde $H^2(\mathbb{Z}^n,\mathbb{T})$ es el segundo grupo cohomology de $\mathbb{Z}^n$ con coeficientes en $\mathbb{T}$), podemos definir la no conmutativa $n$-torus $C^\infty(\mathbb{T}^n_\theta)$ como el álgebra generada por unitaries $\{U_{\mathbb{k}}\}_{\mathbb{k} \in \mathbb{Z}^n}$ la satisfacción de las relaciones de conmutación
$$
\forall \mathbb{k}, \; \mathbb{k}^\prime \in \mathbb{Z}^n, \quad U_{\mathbb{k}^\prime} U_{\mathbb{k}} = e^{2\pi i \theta(\mathbb{k},\mathbb{k}^\prime}U_{\mathbb{k}} U_{\mathbb{k}^\prime};
$$
de construir, sólo tomamos $C^\infty(\mathbb{T}^n_\theta) := C^\infty(\mathbb{T}^n_\Theta)$ cualquier $2$-cocycle $\Theta$ la inducción de la $\theta$.
Permítanme ser más explícito acerca de lo que aparece en la literatura. Tenemos un isomorfismo
$$
\{\text{alternando bicharacters $\theta : \mathbb{Z}^n \times \mathbb{Z}^n \to \mathbb{T}$}\} \cong \mathbb{T}^{n(n-1)/2}
$$
dada por
$$
\theta \mapsto (\theta(e_i,e_j))_{1 \leq i < j \leq n},
$$
donde $\{e_i\}_{i=1}^n$ es el estándar de la ordenada de base para $\mathbb{R}^n$; por el contrario, la alteranting bicharacter $\theta$ correspondiente a $(\theta_{ij})_{1\leq i < j \leq n} \in \mathbb{T}^{n(n-1)/2}$ está dado por
$$
\forall \mathbb{k}, \; \mathbb{k}^\prime \in \mathbb{Z}^n, \quad \theta(\mathbb{k},\mathbb{k}^\prime) = \sum_{1 \leq i < j \leq n} \theta_{ij}(k_i k^\prime_j - k_j k^\prime_i).
$$
A continuación hay tres convenciones que tienden a aparecer para la construcción de $2$-cocycles $\Theta : \mathbb{Z}^n \times \mathbb{Z}^n \to \mathbb{T}$ la inducción de la $\theta$:
- Para todos $\mathbb{k}$, $\mathbb{k}^\prime \in \mathbb{Z}^n$, set $\Theta(\mathbb{k},\mathbb{k}^\prime) := \sum_{1 \leq i < j \leq n} \theta_{ij} k_i k^\prime_j$.
- Para todos $\mathbb{k}$, $\mathbb{k}^\prime \in \mathbb{Z}^n$, set $\Theta(\mathbb{k},\mathbb{k}^\prime) := -\sum_{1 \leq i < j \leq n} \theta_{ij} k_j k^\prime_i$.
- Para cada una de las $1 \leq i < j \leq n$, elija $\tfrac{\theta_{ij}}{2}$ tal que $2 \tfrac{\theta_{ij}}{2} = \theta_{ij}$. Por lo tanto, para todos los $\mathbb{k}$, $\mathbb{k}^\prime \in \mathbb{Z}^n$, set $\Theta(\mathbb{k},\mathbb{k}^\prime) := \sum_{1\leq i < j \leq n}\tfrac{\theta_{ij}}{2}(k_i k^\prime_j - k_j k^\prime_i)$.
Los dos primeros convenios de darle la no alternancia de bicharacters, lo que complica un poco justo de la álgebra, pero resultan ser mucho más robusto de un grupo-cohomological perspectiva; en particular, dan honesto a la bondad escisiones de la secuencia exacta corta
$$
0 \a \ker(\Theta \mapsto \theta) \a \{\text{$2$-cocycles}\} \xrightarrow{\Theta \mapsto \theta} \{\text{alternando bicharacters}\} \a 0.
$$
La tercera convención le da la alternancia de bicharacters, lo que simplifica un poco justo de la álgebra, pero todos los no-unicidad puede dar dolores de cabeza al tratar con ciertos tecnicismos.
