Si un primo $p$ divide $a^2\pm a+1$ para algunos $a\in\mathbb{N}$ ¿Por qué no $p$ sea congruente con $-1$ modulo $3$ ?

Question

Mi pregunta es por qué se sostiene lo siguiente:

$$ p\equiv-1\pmod{3}\Rightarrow p\nmid a^2\pm a+1,\forall a\in \mathbb{N} $$

Answer 1

Aún más sencillo: $(a^2 \pm a + 1)|(a^6 - 1)$ . Por lo tanto, si $a^2 \pm a + 1$ tiene una raíz, entonces $a^6 - 1$ tiene una raíz que no es $\pm 1$ lo que implica módulo $p$ existe un elemento de orden $3$ ou $6$ que implica $p \equiv 1 \pmod{3}$ (esto falla para $p=3$ pero en ese caso ya hemos acabado).

Answer 2

Para $p > 2$ , $$a^2 \pm a + 1 = \frac{1}{4} (4a^2 \pm 4a + 4) = \frac{1}{4}(2a \pm 1)^2 + \frac{3}{4}$$ Por lo tanto, basta con demostrar que $-3$ es un no-residuo cuadrático. Esto se deduce de la reciprocidad cuadrática. Para $p = 2$ , $a^2 \pm a + 1$ se ve fácilmente que siempre es impar.