Lo $\alpha+\beta$ si tenemos: $\alpha^3-6\alpha^2+13\alpha=1$ y $\beta^3-6\beta^2+13\beta=19$ ($\alpha$ y $\beta$ son Reales)

Question

Lo $\alpha+\beta$ si tenemos $\alpha^3-6\alpha^2+13\alpha=1$ e $\beta^3-6\beta^2+13\beta=19$? Aquí $\alpha$ e $\beta$ son reales.

En primer lugar, se restan las dos ecuaciones y se obtuvo los siguientes: $$\alpha^3-\beta^3-6(\alpha^2-\beta^2)+13(\alpha-\beta)=-18$$ Then I tried to factorize the left hand side as: $$(\alpha-\beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2-6\alpha-6\beta+13)=-18$$ En este punto parece que no podemos ir! Luego he intentado añadir las dos ecuaciones: $$(\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2-6\alpha-6\beta+13)+12\alpha\beta=20$$ por desgracia, de nuevo no se puede continuar!
Hay alguna en especial la creatividad necesarias para resolver esta pregunta?

Answer 1

Deje $f(x)=x^3-6x^2+13x,$ Entonces $f'(x)=3x^2-12x+13 = 3[(x-2)^2]+1>0$

Por lo $f(x)$ es estrictamente creciente de la función.

Ahora encima nos han dado $f(\alpha)=1$ e $f(\beta) = 19\;,$ Donde $\alpha<\beta$

A continuación,$f(\alpha)<f(\beta)$, debido a que la función es creciente.

Ahora \begin{align*}f(4-x)&=(4-x)^3-6(4-x)^2+13(4-x)\\&=64-x^3-48x+12x^2-96-6x^2+48x+52-13x\\&=-x^3+6x^2-13x+20=-f(x)+20\end{align*} Así que si $x=\alpha$,, a Continuación, $f(4-\alpha)=-f(\alpha)+20=19=f(\beta)$

La función es continua y monótona creciente, lo $f(x)=f(y)\implies x=y$, por lo tanto $$4-\alpha=\beta\Rightarrow \boxed{\alpha+\beta=4}$$

Answer 2

Con el fin de deshacerse de la cuadrática términos que escribir $\alpha:=a+2$, $\beta:=b+2$. Entonces $$1=\alpha^3-6\alpha^2+13\alpha=(a+2)^3-6(a+2)^2+13(a+2)=a^3+a+10\ ,$$ y del mismo modo $$19=\beta^3-6\beta^2+13\beta=b^3+b+10\ .$$ De ello se desprende que $a$ e $b$ satisfacer las ecuaciones $$a^3+a=-9,\quad b^3+b=9\ .$$ Ahora (inesperado) de simetría viene a nuestro rescate: Como $t\mapsto t^3+t$ es monótonamente creciente no es exactamente una $b=:b_*>0$ la satisfacción de la segunda de estas ecuaciones, y es entonces obvio que $a:=-b_*$ es la solución única de la primera de estas ecuaciones. De ello se sigue que necesariamente $$\alpha+\beta=-b_*+2 +b_*+2=4\ .$$