Es mi solución correcta para demostrar que $f (x) = 0$ para todos los $x \in [a, b]$?

Question

Posibles Duplicados:
$f\geq 0$ e $\int_a^b f=0$ implica $f=0$ todas partes en $[a,b]$

Es esta una solución correcta?

Gracias por su ayuda

Answer 1

Aquí es otro enfoque (yo prefiero 'constructiva' de las pruebas, aunque tienden a ser más largo, como es el caso aquí):

Desde $\int f = 0$, e $f$ es continua, tenemos $\int f = \sup_{\pi \in {\cal P}} L(f,\pi) = 0$ donde ${\cal P}$ es el conjunto de particiones de $[a,b]$, e $L(f,\pi)$ es la suma de Riemann. Desde $[a,b]$ es compacto, $f$ es uniformemente continua.

Deje $\epsilon>0$. Elija $\delta>0$, de modo que si $|x-y| < \delta$,, a continuación,$|f(x)-f(y) | < \epsilon$. Seleccione una partición $\pi$ con $\text{mesh } \pi < \delta$. Desde $f \geq 0$, tenemos $L(f,\pi) = 0$, y por lo tanto en cada subinterval $[x,y]$ de % de$\pi$, tenemos algunas $\xi$ tal que $f(\xi) = 0$. Uniforme de continuidad de la muestra que $f(t) < \epsilon$ para todos los $t \in [x,y]$. Por lo tanto $f(t) < \epsilon$ para todos los $t \in [a,b]$. Desde $\epsilon>0$ fue arbitraria, hemos terminado.