¿Son las funciones coordenadas de una base de Hamel de un espacio dimensional infinito de Banach discontinua?

Question

La pregunta está en el título realmente, pero supongo que al menos podría solucionar algunos de notación aquí.

Deje $X$ ser un infinito dimensional espacio de Banach - sobre los reales en aras de la concreción. Uso de la opción para producir una base de Hamel $(x_i)_{i \in I}$$X$. Tengo la impresión de que esta base debe necesariamente interactuar mal con la topología y, por tanto, no sería de mucho (?) utilizar para la realización de un análisis en $X$, pero nunca he pensado realmente acerca de por qué esto debería ser el caso.

Hay un sentido riguroso, en el que podemos decir que esta base es "inútil"?

Una manera de hacer este preciso (aunque yo estaría interesado en otros puntos de vista) podría ser la de considerar la correspondiente lineal funcionales $(f_i)_{i \in I}$ - se determina únicamente por tomar $f_i(x_j)$ igual a $1$ o $0$ $i=j$ o no. Yo estaría muy sorprendido si fuera posible para cualquiera de estos funcionales a ser continua, pero esta convicción se basa sólo en mi vaga noción de que una base de Hamel para $X$ debe ser de alguna manera "patológico", y no en cualquier razonamiento sólido.

Porque no tengo idea de cómo acercarse a esta pregunta (es cierto que también porque no creo que esto es particularmente constructivo cosa a la vivienda en esta época del año...) yo pensaba que iba a apelar a la duro-ganado sabiduría de la gente buena de Matemáticas de Intercambio de la Pila.

De edición para mayor claridad: en realidad yo ya conozco a la mayoría de un número finito de coordenadas las funciones pueden ser continuas (ver comentario abajo) que es, ahora que lo pienso, bastante crítico fracaso en sí mismo y, probablemente, suficiente para justificar la palabra "inútil". Mi pregunta es si todos ellos deben ser discontinua.

Answer 1

Su impresión es correcta. Hamel bases y topología de interactuar mal en infinitas dimensiones de los espacios. Un ejemplo sencillo sería el espacio de la real polinomio de funciones de una variable en el intervalo de $[0, 1]$ equipado con la norma

$$\lVert p \rVert = \int_0^1\lvert p(x)\rvert\, dx.$$

Entonces claramente $\{1, x, x^2, \ldots\}$ es una base de Hamel. Entonces tenemos una familia de funcionales lineales

$$P_j(a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n)=\begin{cases} a_j & j \le n \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$$

que podemos llamar proyectores , pero sólo en el sentido algebraico. En el hecho de que no son continuas.

Tome $(x-1)^n$. Entonces

$$\int_0^1 \left\lvert (x-1)^n \right\rvert\, dx = \frac{(-1)^{n+1}}{n+1}\to 0,$$

pero $P_0\big( (x-1)^n \big)=(-1)^n$, $P_0$ mapas de una secuencia convergente en un no-regular. Podemos encontrar ejemplos similares para los otros $P_j$.

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Por supuesto, el anterior espacio no fue completa. Esto está en la naturaleza de las cosas: una consecuencia de Baire teorema de categoría es que una base de Hamel en un espacio de Banach es necesariamente innumerables y por lo tanto necesita ser un objeto mucho más complicado. Hay algo que podemos decir en este caso también, aunque. De hecho, recuerdo haber visto esto como un ejercicio en algún lugar:

Ejercicio Vamos a $(V, \lVert \cdot \rVert)$ ser una normativa espacio y $H\subset V$ algebraica de base. A continuación, para todos los $x \in V$ hemos

$$x=P_{h_1}(x)h_1 + \ldots P_{h_k}(x)h_k$$

para unívocamente determinado $h_1 \ldots h_k \in H$. Las asignaciones $P_h$ así definidos son lineales. Llame a $\tau$ el más áspero de la topología en $V$ s.t. estas asignaciones son todas continuas. A continuación, los siguientes son equivalentes:

1. $\tau$ coincide con la norma de la topología;
2. $H$ es finito.

EDITAR

He aquí una prueba para $1 \Rightarrow 2$. Supongamos $H$ no es finito. Para cada una de las $h_1 \ldots h_k \in H$$\varepsilon >0$, vamos

$$B(h_1 \ldots h_k, \varepsilon) = \{x \in V \mid \lvert P_{h_j}(x) \rvert < \varepsilon,\ j=1 \ldots k \}.$$

Los conjuntos forman un sistema fundamental de vecindades de el origen de la topología $\tau$, por lo que para la norma de la topología. Fix$h_1 \ldots h_k$$\varepsilon$. Desde $H$ es infinito podemos encontrar $h \in H, h \ne h_1 \ldots h_k$. Llame a $r_h=\{\lambda h \mid \lambda \in \mathbb{K}\}$. Este conjunto claramente es ilimitado. Tenemos $r_h \subset B(h_1 \ldots h_k, \varepsilon)$ $B(h_1 \ldots h_k, \varepsilon)$ es ilimitado.

Así pues, hemos demostrado que todos los $\lVert \cdot \rVert$-barrio de el origen de las $V$ necesita ser ilimitado. Esta es una contradicción.