Cálculo de variaciones: las dos integrales

Question

Me gustaría encontrar los extremos de la siguientes integral con respecto a $u\left(s\right)$:

$\int_0^T\exp\left\{\int_0^s\left[\frac{1}{2\gamma^2}\left(u\left(v\right)+\lambda+\left(1-\gamma\right)\frac{1-e^{-\kappa\left(s-v\right)}}{\kappa}\sigma\right)^2+\frac{1-\gamma}{2\gamma\theta}u\left(v\right)^2-\frac{1}{2\gamma}\left(u\left(v\right)+\lambda\right)^2\right] dv\right\}ds$

donde $\gamma$, $\lambda$, $\kappa$, $\sigma$ y $\theta$ son constantes. De Euler-Lagrange ecuación, desafortunadamente, no es directamente aplicable aquí; también probé con la sustitución de $w\left(s\right)\triangleq u\left(s\right)^2$, pero no simplificar las cosas bien. Cualquier sugerencia es muy apreciado!

Answer 1

Sugerencias:

1. OP funcional en el formulario $$ I[u;T]~:=~\int_0^T\! ds ~e[u;s], \tag{1} $$ $$ e[u;s]~:=~\exp(S[u;s]), \tag{2} $$ $$ S[u;s]~:=~\int_0^s \!dv~L(s,v,u(v)),\tag{3} $$ para algunos la función $L: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$.

2. Deducir que $$\forall v\[0,T]:~~ \int_v^T\!ds ~e[u;v]\frac{\partial L(s,v,u(v))}{\partial u(v)}~=~0 \etiqueta{4} $$ es una condición necesaria para una solución estacionaria $u(v)$.

3. En la OP del caso, el $L$ función es cuadrática en $u$. Por la escala de la $u$ variable, podemos suponer que la $$L(s,v,u)~= \frac{1}{2}u^2+f(s,v)u+g(s,v),\tag{5}$$ para algunas funciones $f,g:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$.

4. La condición necesaria (4) se convierte en $$\forall v\[0,T]:~~ u(v)~=~-\frac{\int_v^T\!ds ~e[u;v] f(s,v)}{\int_v^T\!ds ~e[u;v]} .\la etiqueta{6}$$