Cómo probar que $\lim\limits_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to \infty}a_{n}$

Question

Yo quiero probar el siguiente teorema

Deje $\{a_{n}\}$ ser una secuencia convergente. Demostrar que $\lim\limits_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to \infty}a_{n}$

Necesito mostrar que es monótona creciente y, a continuación, utilizar la relación

$$0\leq \lim_{n\to \infty}a_{n+1}- \lim_{n\to \infty}a_{n}\leq 0 \;?$$

Por favor, necesito ayuda en esto! Diversas pruebas son bienvenidos! Muchas gracias por su tiempo!

Answer 1

Tenga en cuenta que

• $|a_n-L|<\epsilon$ para $n>N\implies |a_{n+1}-L|<\epsilon$ para $n+1>N$

Answer 2

Deje $L$ tal que $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L$. Deje $\epsilon>0$, por tanto, existe un número natural $N$ tal que $$ n\geq N\Rightarrow|a_n-L|<\epsilon $$ A continuación,$n+1>n\geq N$, lo $|a_{n+1}-L|<\epsilon$.

Answer 3

Otro método que utiliza un poco más de la maquinaria: considere el $a_{n+1} - a_n$, lo que tiende a $0$ porque $(a_n)$ es convergente y, por tanto, de Cauchy. Desde $(a_n)$ es convergente, la secuencia de $(a_{n+1})$ debe ser, por tanto, convergente y debe tender a que el mismo límite, por el siguiente teorema que usted debe asegurarse de que usted puede probar:

Si $b_n - a_n \to c$, e $(a_n)$ converge a$a$,, a continuación, $(b_n)$ es convergente y converge a $c-a$.

Answer 4

Guía:

deje $a = \lim_{n \to \infty} a_n$,

$\forall \epsilon>0$, podemos encontrar $N>0$, de tal manera que $n > N$, $|a_n-a| < \epsilon$.

Ahora bien, dado $\epsilon$, piensa en cómo recoger $M>0$, de tal manera que

$$n > M, |a_{n+1}-a| < \epsilon$$

Trate de encontrar ese $M$ en términos de $N$.

Comentario: Una convergencia de la secuencia no necesita ser monótono.

Answer 5

En el clásico de $\varepsilon >0$ y el triángulo de la desigualdad forma, si $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=a$: $$|a_{n+1} - a|=|a_{n+1} - a_n +a_n- a|\leq |a_{n+1} - a_n| +|a_n- a|\leq \\|a_{n+1} - a_n| +\frac{\varepsilon}{2} \leq ...$$ debido a una convergencia de la secuencia también es una secuencia de Cauchy $$...\leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$ Del mismo modo, se puede demostrar que $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n+k}=a, \forall k\geq 0$.