¿Qué automorfismos existen en el grupo abeliano de los racionales positivos bajo la multiplicación?

Question

Consideremos el grupo abeliano $(\mathbb{Q}_{>0}, \times)$ . ¿Qué automorfismos existen para este grupo? Sólo se me ocurre el trivial y el de $\phi(q) = \frac{1}{q}$ .

Si relajamos el problema a homomofismos inyectivos de $(\mathbb{Q}_{>0}, \times)$ a sí mismo, ¿obtenemos resultados adicionales?

Answer 1

Sugerencia $(\Bbb Q_{> 0}, \cdot)$ es isomorfo a $(\Bbb Z, +) \oplus (\Bbb Z, +) \oplus \cdots$ .

Answer 2

Es más fácil hablar primero de los endomorfismos porque éstos tienen una estructura de anillo. De hecho, como ya se ha mencionado algunas veces, este grupo es una suma directa contable $\bigoplus_p \mathbb{Z}$ de una copia de $\mathbb{Z}$ para cada primo, por lo que en algunos aspectos se comporta como un espacio vectorial. En particular, su anillo de endomorfismo $\text{End}(\bigoplus_p \mathbb{Z})$ es un anillo de matrices: más concretamente, es el anillo de matrices enteras con un número contable de filas y columnas, pero en el que hay un número finito de entradas en cada columna ( matrices de columna finita para abreviar). Esta condición garantiza que la multiplicación de dicha matriz por un "vector" en $\bigoplus_p \mathbb{Z}$ está bien definida.

El grupo de automorfismo es entonces el grupo de las unidades de este anillo: es decir, es el grupo de las matrices invertibles de columna finita sobre $\mathbb{Z}$ . Creo que es la descripción más sencilla que se puede hacer. Este es un grupo muy grande; incluye los grupos $\text{GL}_n(\mathbb{Z})$ para todos $n$ como subgrupos propios, así como el grupo $\text{Aut}(\mathbb{N})$ de todas las permutaciones de un conjunto contable.