Resolver Telescópico De La Serie

Question

$$\ \sum_{n=5}^\infty \frac{8}{n^2-1} $$

He intentado lo siguiente:

$$\ \sum_{n=5}^\infty \frac{8}{n^2-1} = \sum_{n=5}^\infty \frac{8}{n-1} - \frac{8}{n} =$$ $$\left(2-\frac{8}{5}\right) + \left(\frac{8}{5} - \frac{8}{6}\right) + \left(\frac{8}{6} - \frac{8}{7}\right) + \cdots + \left(-\frac{8}{n}\right)$$

Términos cancela a la otra, por lo tanto nos quedamos con: $$ \ (2 - \frac{8}{n}) $$

Yo podría pensar que la serie converge a 2 ya que: $$\lim_{n \to \infty} \left(2-\frac 8 n \right) = 2$$

Sin embargo, la respuesta correcta es $$ \frac{9}{5} $ $ ¿qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Su parcial fracción está mal:

$$\frac{8}{n^2-1}=\frac{-4}{n+1}+\frac{4}{n-1}$$

Utilizando similares truco, usted verá que la mayoría de los términos se cancelan y se le dejó con $1+\frac45.$

Editar:

para obtener las fracciones parciales,

Desde $n^2-1=(n-1)(n+1)$,

$$\frac{8}{(n-1)(n+1)}= \frac{A}{n+1}+\frac{B}{n-1}.$$

Nosotros, por ejemplo, puede comparar las dos y resolver para $A$ e $B$ mediante la comparación de los coeficientes.

Yo uso un truco de la llamada heaviside método de cobertura.

A determinte $A$, $n+1=0$, $n=-1$. Voy a cubrir el término " $n+1$ en el denominador del lado izquierdo y evalute $\frac{8}{n-1}$ con $n=-1$, por lo tanto $A=-4$.

Podemos hacer cosas similares para $B$ así.