Pequeña/Mínimo bases de un espacio topológico

Question

1. El más pequeño posible de la cardinalidad de una base se llama el peso de el espacio topológico. Me preguntaba si todos los mínimos de las bases tienen el misma cardinalidad, y si cada base contiene un subconjunto cuya la cardinalidad es el peso de la topológica del espacio?

2. Qué aspectos son comunes entre una (la más pequeña) de la base de una topología y una base de un espacio vectorial, además de la siguiente similitud (subconjunto abierto <-> vector de la unión <-> combinación lineal):

   • cada subconjunto abierto es la unión de algunos de sus miembros en la base;

   • cada vector es combinación lineal de algunos de sus miembros en la base.

   Tenga en cuenta que una base en un espacio vectorial es también una base en el lineal matroid. No estoy seguro de si puede tener alguna buena estructura como matroid para un topológico, espacio para entender su (más pequeño) de bases.

Gracias y saludos!

Answer 1

Deje $\langle X,\tau\rangle$ ser un espacio topológico. En general, no hay tal cosa como una mínima base para $\tau$: si $\mathscr{B}$ es una base para $\tau$, en general algunos subconjunto de $\mathscr{B}$ es también una base para $\tau$. Sin embargo, entre las bases de $\tau$ existen bases de mínima cardinalidad, y que la mínima cardinalidad de una base para $\tau$ es $w(X)$, el peso de $X$.

Sí, es cierto que cada base para $\tau$ tiene un subconjunto de cardinalidad $w(X)$ que es también una base para $X$. He aquí una prueba.

Deje $\mathscr{B}$ ser una base para $\tau$, y deje $\mathscr{W}$ ser una base para $\tau$ tal que $|\mathscr{W}|=w(X)$. Para cada una de las $W\in\mathscr{W}$ deje $\mathscr{B}(W)=\{B\in\mathscr{B}:B\subseteq W\}$; claramente $\bigcup\mathscr{B}(W)=W$. Vamos $$\mathscr{W}_W=\{V\in\mathscr{W}:V\subseteq B\text{ for some }B\in\mathscr{B}(W)\}\;;$$ clearly $\bigcup\mathscr{W}_W=\bigcup\mathscr{B}(W)=W$, and $|\mathscr{W}_W|\le|\mathscr{W}|=w(X)$. For each $V\in\mathscr{W}_W$ let $B(V)\in\mathscr{B}(W)$ be such that $V\subseteq B(V)$, and let $$\mathscr{B}_0(W)=\{B(V):V\in\mathscr{W}_W\}\;;$$ $|\mathscr{B}_0(W)|\le|\mathscr{W}_W|\le w(X)$, and $$\bigcup\mathscr{W}_W\subseteq\bigcup\mathscr{B}_0(W)\subseteq\bigcup\mathscr{B}(W)=\bigcup\mathscr{W}_W\;,$$ so $\bigcup\mathscr{B}_0(W)=W$.

Ahora vamos a $$\mathscr{B}_0=\bigcup_{W\in\mathscr{W}}\mathscr{B}_0(W)\subseteq\mathscr{B}\;.$$

$\mathscr{B}_0$ es la unión de $w(X)$ subconjuntos de $\mathscr{B}$, cada uno de los cuales tiene cardinalidad en la mayoría de las $w(X)$, lo $|\mathscr{B}_0|\le w(X)$. Por otra parte, cada una de las $W\in\mathscr{W}$ es la unión de los miembros de $\mathscr{B}_0$, e $\mathscr{W}$ es una base para $\tau$, lo $\mathscr{B}_0$ es también una base para $\tau$. Desde $w(X)$ es la cardinalidad mínima de una base para $\tau$, se deduce que el $|\mathscr{B}_0|=w(X)$.

Como Asaf ya se señaló en los comentarios, hay poca conexión entre esta noción de la base y de la noción de bases en espacios vectoriales. ¿Qué relación hay no va más allá del hecho de que ambos son, en cierto sentido, familias pequeñas (de abrir y conjuntos de vectores, respectivamente) a partir de la cual toda la topología o espacio vectorial puede ser generado en algunos de manera natural.