Transformada de Fourier

Question

Cómo encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función:

PS

Answer 1

Al desglosar en fracciones parciales, se obtiene $$ \begin{align} \frac1{x^2+6x+13} &=\frac1{(x+3)^2+4}\\ &=\frac1{(x+3-2i)(x+3+2i)}\\ &=\frac1{4i}\left(\frac1{x+3-2i}-\frac1{x+3+2i}\right) \end {align} $$ Por lo tanto, para$\xi\ge0$, $$ \begin{align} \int_{-\infty}^\infty\frac1{x^2+6x+13}e^{-i2\pi x\xi}\,\mathrm{d}x &=\frac1{4i}\int_{-\infty}^\infty\left(\frac1{x+3-2i}-\frac1{x+3+2i}\right)e^{-i2\pi x\xi}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac1{4i}\int_{\gamma}\left(\frac1{z+3-2i}-\frac1{z+3+2i}\right)e^{-i2\pi z\xi}\,\mathrm{d}z\\ &=\frac{2\pi i}{4i}e^{-i2\pi(-3-2i)\xi}\\ &=\frac\pi2e^{(-4+6i)\pi\xi}\\ &=\frac\pi2e^{(-4|\xi|+6i\xi)\pi}\quad\text{for all }\xi \end {align} $$ donde$\gamma$ es la curva que pasa a la izquierda a la derecha a lo largo del eje real, luego gira en círculos hacia la derecha alrededor del semiplano inferior.

Por lo tanto, la Transformada de Fourer es $$ \ frac \ pi2e ^ {- 4 \ pi | \ xi |} (\ cos (6 \ pi \ xi) + i \ sin (6 \ pi \ xi)) $$

Answer 2

Un problema relacionado. La transformada de Fourier está dada por,

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-ixt}}{x^2+6x+13}dx = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-ixt}}{(x+3)^2+4}dx . $$

Haciendo el cambio de variables $y=x+3$, tenemos

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-i(y-3)t}}{y^2+4}dy = e^{3it}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-iyt}}{y^2+4}dy .$$

Ahora para evaluar la última integral, puede usar el contorno de integración, teniendo en cuenta el complejo integral

$$ \oint_{C}\frac{e^{-itz}}{{z^2+4}}dz, $$

donde $z=y+iw$ e $C$ es un adecuado contorno. Ver ejemplo(II) para más detalles.

Answer 3

O usa algo de magia práctica. (Consideraré$g(x) = f(x-3) = \frac{1}{x^2+4}$ en lugar de$f$.) Si$\mathcal{F}$ es la transformada de Fourier de frecuencia angular unitaria entonces

PS

que junto con$$ -\mathcal{F}(g)'' + 4 \, \mathcal{F}(g) = \mathcal{F} \left( (x^2+4) g \right) = \mathcal{F}(1) = \sqrt{2 \pi} \, \delta $$$ \mathcal{F}(g)(0) = \tfrac{1}{4} \sqrt{2 \pi}$$ correctly suggests that $ $

Answer 4

Si tiene el "Análisis real y complejo" de Rudin, consulte la p. 183 en el Capítulo 9. Como señala, al calcular directamente, la transformada de Fourier inversa de$e^{-\lambda |\xi|}$ para$\lambda > 0$ se ve como$$\sqrt{2 \over \pi} {\lambda \over \lambda^2 + x^2}$ $ Esto significa la transformada de Fourier de${\displaystyle {1 \over 4 + x^2}}$ está dado por$$\sqrt{\pi} {e^{-2|\xi|} \over 2\sqrt{2}}$ $ Dado que${\displaystyle {1 \over x^2 + 6x + 13} = {1 \over (x + 3)^2 + 4}}$, la transformada de Fourier de${\displaystyle {1 \over x^2 + 6x + 13}}$ es entonces$$\sqrt{\pi} {e^{-2|\xi|+3\xi} \over 2\sqrt{2}}$ $

Answer 5

Esto plantea para completar el cuadrado: $$ x^2 + 6x + 13 = \Big( x^2 + 6x + 9 \Big) + 4 = (x+3)^2 + 4. $$ Entonces $$ \frac{1}{(x+3)^2 + 4} = \frac 1 4 \cdot \frac{1}{\left(\dfrac{(x+3)^2}{4}\right) + 1} =\frac 1 4 \cdot \frac{1}{\left(\frac{x+3}{2}\right)^2+1} = \frac 1 4 \cdot \frac{1}{w^2 + 1} $$

La transformada de Laplace consiste en una integral con respecto a $x$. Así $$ w = \frac{x+3}{2} $$ $$ dw = \frac{dx}{2} $$ $$ dx = 2\,dw $$

Si usted puede encontrar $\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{1+w^2} e^{-tw}\,dw$, usted debería ser capaz de conseguir lo que usted está buscando.

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Si hubiera tenido un número menor que $9$ donde $13$ apareció, entonces las cosas serían diferentes. Por ejemplo: $$ x^2 + 6x + 5 = \Big(x^2+6x+0\Big) - 4 = (x+3)^2 - 2^2 = (x+3+2)(x+3-2) $$ $$ =(x+5)(x+1). $$ Entonces $$ \frac{1}{x^2+6x+5} = \frac{1}{(x+5)(x+1)} = \frac{A}{x+5}+\frac{B}{x+1}, $$ y usted tendría que encontrar $A$ e $B$.