¿Cuántas rondas se necesitan para estar 99% seguro de alcanzar el Valor esperado?

Question

Tengo la sensación de que esto podría ser una pregunta común, pero no pude encontrar la manera de preguntar, y yo sólo soy un aficionado a las estadísticas y matemáticas.

Decir que tengo una apuesta que cuesta seis dólares. Si pierdo me sale nada, y si gano puedo obtener mis seis dólares, además de $\$7$ more. I have a $74$% oportunidad de ganar.

1. Tengo la intención de dejar de apostar una vez que alcance la EV. Cuántas veces tengo que hacer la apuesta antes de que pueda ser $99$% seguro de alcanzar, en primer lugar acumulada Valor Esperado? En otras palabras, asumiendo $n > 0$, ¿cuántas rondas hasta que se $99$% seguro de llegar a $3.62n$ la primera vez?

2. Tengo la intención de dejar de apostar una vez que alcance el punto de equilibrio. Cuántas veces tengo que hacer la apuesta antes de que pueda ser $99$% seguro de romper incluso para la serie de las apuestas de la primera vez?

Esta no es la tarea, estoy buscando una forma de comunicar un punto en un panel de discusión acerca de cómo la toma de decisiones de acuerdo a la EV no es siempre sabio si usted no tiene acceso a muchas rondas de un +EV escenario. Estoy tratando de averiguar cómo responder a estas preguntas para una variedad de niveles de certeza (por ejemplo,$99$%), las probabilidades (por ejemplo,$74$%), y las probabilidades.

Answer 1

A partir de tu comentario parece que yo había entendido mal la pregunta. Estoy dejando el viejo respuesta a continuación y responder a lo que ahora entiendo a la pregunta: ¿Después de cuántas apuestas es la probabilidad de al menos $0.99$ que en algún momento después de la primera apuesta que había al menos una vez 1), ganó al menos el valor esperado o 2) roto, incluso?

Dudo que usted va a encontrar una forma cerrada para cualquiera de las preguntas, ya que la respuesta depende de forma discontinua y en una forma complicada en las cantidades ganadas y perdidas. Aquí está el código que calcula el deseado de las probabilidades, y a continuación se presentan las tablas con los resultados a $36$ apuestas de 1) y 2), respectivamente. La probabilidad de la primera supera $0.99$ después de la octava apuesta por 2); 1) el aumento es mucho más lento y la probabilidad de que sólo supera $0.99$ después $1520$ apuestas.

Las probabilidades de ganar al menos el valor esperado al menos una vez:

1 : 0.74
2 : 0.74
3 : 0.74
4 : 0.8453582399999999
5 : 0.8453582399999999
6 : 0.8453582399999999
7 : 0.8453582399999999
8 : 0.8786593162076928
9 : 0.8786593162076928
10 : 0.8786593162076928
11 : 0.8786593162076928
12 : 0.8962020301044347
13 : 0.8962020301044347
14 : 0.8962020301044347
15 : 0.8962020301044347
16 : 0.9074148648344059
17 : 0.9074148648344059
18 : 0.9074148648344059
19 : 0.9074148648344059
20 : 0.915359865866572
21 : 0.915359865866572
22 : 0.915359865866572
23 : 0.915359865866572
24 : 0.9213629803238053
25 : 0.9213629803238053
26 : 0.9213629803238053
27 : 0.9277678707439793
28 : 0.9277678707439793
29 : 0.9277678707439793
30 : 0.9277678707439793
31 : 0.9323141561409174
32 : 0.9323141561409174
33 : 0.9323141561409174
34 : 0.9323141561409174
35 : 0.9359115934382276
36 : 0.9359115934382276

Probabilidades de haber roto incluso al menos una vez:

1 : 0.74
2 : 0.9324
3 : 0.9324
4 : 0.96941776
5 : 0.96941776
6 : 0.9836621940479999
7 : 0.9836621940479999
8 : 0.9905137668250881
9 : 0.9905137668250881
10 : 0.9942048461115609
11 : 0.9942048461115609
12 : 0.996335337075713
13 : 0.9980762525492772
14 : 0.9980762525492772
15 : 0.9988298948577833
16 : 0.9988298948577833
17 : 0.9992541563997228
18 : 0.9992541563997228
19 : 0.9995114393395534
20 : 0.9995114393395534
21 : 0.9996738409902597
22 : 0.9996738409902597
23 : 0.9997791130800898
24 : 0.9997791130800898
25 : 0.999848694382642
26 : 0.9999117901988117
27 : 0.9999117901988117
28 : 0.9999425077210228
29 : 0.9999425077210228
30 : 0.9999613308931266
31 : 0.9999613308931266
32 : 0.9999735347566812
33 : 0.9999735347566812
34 : 0.9999816703500977
35 : 0.9999816703500977
36 : 0.9999871903297415

---

Esta es la respuesta a la pregunta que yo originalmente había entendido: ¿Después de cuánto muchas apuestas es la probabilidad de al menos $0.99$ que usted: 1) obtenido al menos el valor esperado o 2) rompió incluso después de que todas las apuestas?

Su mejor oportunidad de conseguir al menos el valor esperado no es apostar a todos; luego se obtiene el valor esperado $0$ con una probabilidad de $1$. Si usted apuesta una vez, se obtiene, al menos, el valor esperado si usted gana, que es, con probabilidad de $0.74$. Por el teorema del límite central, la forma de la distribución tiende a una Gaussiana como el número de apuestas aumenta, por lo que la probabilidad de obtener al menos el valor esperado disminuye hacia la $1/2$. Por lo tanto, usted nunca tendrá una probabilidad de $0.99$ conseguir al menos el valor esperado, a menos que no apuesta a todo.

Dudo que usted obtendrá una forma cerrada para la segunda pregunta, pero usted puede encontrar la respuesta por ensayo y error: Con $12$ apuestas de romper incluso con una probabilidad de $0.982246$ (cálculo), y con $13$ apuestas de romper incluso con una probabilidad de $0.992692$ (cálculo). Con $14$ apuestas de romper incluso con una probabilidad de $0.986808$ (cálculo), y con $15$ apuestas de romper incluso con una probabilidad de $0.994428$ (cálculo). La probabilidad de romper incluso es al menos $0.99$ para $13$ apuestas y para $15$ o más apuestas.