¿Cuál es la diferencia entre un axioma y un postulado?

Question

Escucho sobre axiomas en teoría de conjuntos y postulados en geometría, pero parecen ser lo mismo. ¿Significan lo mismo pero luego se usan en diferentes instancias o qué? ¿Una palabra es más aplicable en un caso más que la otra? Nunca oigo sobre axiomas en geometría o postulados en teoría de conjuntos. ¿Son los axiomas más formales y los postulados se usan más informalmente?

Answer 1

Los términos "postulados" y "axiomas" pueden ser utilizados indistintamente: simplemente son palabras diferentes que se refieren a las suposiciones básicas - los "bloques de construcción" tomados como dados (suposiciones sobre lo que consideramos cierto), que junto con las definiciones primitivas, forman la base sobre la cual se prueban los teoremas y se construyen las teorías.

La elección de utilizar un término en lugar del otro es en gran medida una función del desarrollo histórico de una rama particular de las matemáticas. Por ejemplo, la geometría tiene raíces en la antigua Grecia, donde "postulado" era la palabra utilizada por los pitagóricos, entre otros.

Así que es en gran medida una cuestión de historia y contexto, y de la palabra favorecida por los matemáticos que introdujeron o hicieron explícitos sus "axiomas" o "postulados." "Postulado" era una vez preferido sobre "Axioma", con el desarrollo de la filosofía analítica, particularmente el positivismo lógico, el término "axioma" se convirtió en el término preferido, y su prevalencia ha persistido desde entonces. Tal vez debería ser corregido: como señala Peter Smith, es "más probable" que la "adopción" del término "axioma" pueda atribuirse a "matemáticos como Hilbert (que habla de axiomas de geometría), Zermelo (que habla de axiomas de teoría de conjuntos), etc."

Ninguno de los términos es más formal que el otro. Personalmente prefiero "postulado" sobre "axioma", ya que un "postulado" transmite de manera transparente (o denota - como en connotación) que lo que estamos llamando postulado es "postulado" como una "suposición", a partir de la cual aceptamos trabajar en la construcción de teoremas o una teoría. En contraste, para mí, la connotación de un "axioma" es la de una "ley" de algún tipo, que DEBE ser seguida o DEBE ser cierta, aunque no es más fuerte ni diferente de un postulado. Pero de nuevo, esto es simplemente una observación y preferencia personal, y el término "axioma" parece tener más "adopción" en este punto de la historia.

Answer 2

Misma cosa, diferente nombre. Al igual que cómo el axioma de elección es equivalente al lema de Zorn y al teorema de Zermelo (también conocido como el principio de buena ordenación).

Estas son simplemente palabras que indican nuestras suposiciones básicas sobre lo que es verdadero en el universo.

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En cuanto a la edición, creo que los axiomas simplemente obtuvieron una mejor posición como término. Los Axiomas de Peano también son conocidos como Postulados de Peano; y tengo un libro escrito por Tarski (Álgebras Cardinales, 1949) en el cual comienza con Postulados en lugar de axiomas.

Answer 3

En matemáticas modernas, postulado y axioma se utilizan indistintamente y significan una declaración que se asume como verdadera dentro de un dominio específico. Cada sistema matemático deductivo (como la Geometría Euclidiana) normalmente tendrá declaraciones que son autoevidentes (o se asumen como verdaderas) y no necesitan pruebas. Estas declaraciones se llaman axiomas y siempre forman la base de ese sistema deductivo. Luego vienen los teoremas, que son declaraciones con pruebas (usando axiomas u otros teoremas). Cabe destacar que Euclides en su libro “Elementos” mencionó alrededor de 23 definiciones, 5 postulados y 5 axiomas; y no está claro por qué diferenció entre postulados y axiomas. Sin embargo, estos dos términos pueden interpretarse como teniendo el mismo significado.

Fuente principal: Introducción a las demostraciones matemáticas, Segunda Edición: Una Transición a...Por Charles Roberts

Answer 4

Para consideración, ambos describen declaraciones que unen primitivos en una dulce razón. La elección de la palabra depende de la actitud. Postulado es un término más afirme, axioma es más transitivo. En la historia, el uso de axioma ganó favor entre los matemáticos desafiando la permanencia de la especulación publicada (por ejemplo, observaciones finitas sobre el infinito)...abriendo así la puerta y allanando el camino para experimentos con la relatividad.