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ensayar

Si$a,b,c$ son números reales positivos y$a+b+c=1$, pruebe:$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)$ $ Información adicional: Podemos usar la mayoría de las desigualdades de AM-GM y Cauchy. No se nos permite usar inducción.

Cosas que he hecho hasta ahora:

Usando las desigualdades de Cauchy puedo escribir:$$(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})(b+c+a) \geq (a+b+c)^2$ $

$a+b+c=1$, Entonces:$$(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})\geq 1$ $

7voto

da Boss Puntos 1142

En este caso, desea tener términos cuadráticos en el RHS, así que use Cauchy de la siguiente forma:$$\left(\sum_{cyc} \frac{a^2}b \right) \left(\sum_{cyc} a^2b \right) \ge \left(a^2+b^2+c^2\right)^2 \tag{1}$ $

Entonces es suficiente para demostrar que$$a^2+b^2+c^2 \ge 3\sum_{cyc} a^2b \tag{2}$ $ Homogeneización,$$\iff \left( a^2+b^2+c^2\right) (a+b+c) \ge 3\sum_{cyc} a^2b $ $$$\iff \sum_{cyc} a^3+ \sum_{cyc} ab^2 \ge 2\sum_{cyc} a^2b $ $

que sigue de AM-GM como$a^3+ab^2 \ge 2a^2b$.

5voto

Alex S Puntos 4742

Lema:$$\sum_{cyc}\dfrac{a^2}{b}\ge\dfrac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}$ $ Prueba:$$\Longleftrightarrow (ab+bc+ac)(\sum_{cyc}\dfrac{a^2}{b})\ge (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$ $$$\Longleftrightarrow a^3+b^3+c^3+a^2c+c^2b+b^2a+\sum_{cyc}\dfrac{a^3c}{b}\ge a^3+b^3+c^3+\sum_{sym }a^2b$ $$$\Longleftrightarrow\dfrac{a^3c}{b}+\dfrac{b^3a}{c}+\dfrac{c^3b}{a}\ge ac^2+cb^2+ba^2$ $ Por AM-GM, tenemos$$\dfrac{a^3c}{b}+\dfrac{b^3a}{c}\ge 2a^2b$ $$$\dfrac{b^3a}{c}+\dfrac{c^3b}{a}\ge 2b^2c$ $$$\dfrac{a^3c}{b}+\dfrac{c^3b}{a}\ge 2c^2a$ $ si probamos este$$\dfrac{a+b+c}{ab+bc+ac}=\dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}\ge 3$ $

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