Demostración de la identidad trigonométrica mediante el teorema de De Moivre

Question

Pregunta: Prueba $$\cos(3x) = \cos^3(x) - 3\cos(x)\sin^2(x) $$ utilizando el Teorema de De'Moivres

Hasta ahora (aprendiendo números complejos en este momento) que el teorema de De Moivre establece que

si $z$ $=$ $r\text{cis}(\theta)$ entonces $z^n = r^n\text{cis}(n\theta)$

así que con esta pregunta estaba pensando si

$$ z = \cos(3\theta) + i\sin(3\theta) $$

entonces

$$ z = (\cos(\theta) + i\sin(\theta))^3 $$

y luego ampliar y comparar la parte real? ¿Es ese el camino correcto para esta pregunta?

Answer 1

La solución puede completarse de esta manera:

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Sabemos, por el Teorema de De-Moivre, $$(\cos x + i \sin x)^3=\cos 3x + i \sin 3x$$

Por lo tanto, podemos escribir $$\cos^3 x + 3i\cos^2x\sin x + 3i^2\cos x\sin^2 x + i^3 \sin^3 x=\cos 3x + i \sin 3x$$ o, $$\cos^3 x + 3i\cos^2x\sin x - 3\cos x\sin^2 x - i \sin^3 x=\cos 3x + i \sin 3x$$ o, $$(\cos^3 x- 3\cos x\sin^2 x) + i(3\cos^2x\sin x - \sin^3 x)=\cos 3x + i \sin 3x$$

En cuanto a tu problema, sólo tienes que comparar las partes reales de esta ecuación.

Espero que esto te ayude.

Answer 2

Desde Fórmula de Euler tenemos

$$e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta) \tag 1$$

Dejar $\theta \to n\theta$ en $(1)$ revela que

$$e^{in\theta}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta) \tag 2$$

Desde $e^{in\theta}=\left(e^{i\theta} \right)^n$ , entonces tenemos de $(1)$ y $(2)$

$$\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta) \tag 3$$

que es Fomula de Moivre .

Por último, dejar que $n=3$ en $(3)$ y tomar la parte real revela

$$\cos(3\theta)=\text{Re}\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)^3=\cos^3(\theta)-3\cos(\theta)\sin^2(\theta)$$

¡Y ya está!