Demostrando la desigualdad $\tan(1)\le\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(1/k^2)}{\cos^2 (1/(k+1))}$

Question

¿Cómo voy a probar esta desigualdad? Desigualdad de Jordania $$\tan(1)\le\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin\left(\frac{1}{k^2}\right)}{\cos^2 \left(\frac{1}{k+1}\right)} puede ser una opción pero me llevó en ningún lugar. ¿Qué más probar?

Answer 1

Si $k \in \mathbb{N}$, $k \geq 2$ y $x \in [0, \sqrt{\frac{1}{2}}]$

$$\frac{\partial}{\partial x}\sin(\frac{x}{k}) \cos(x) = \frac{1}{k} \cos(\frac{x}{k}) \cos(x) - \sin(\frac{x}{k}) \sin(x) \geq \frac{1}{2 k} - \frac{x^2}{k} \geq 0$$

por lo $\sin(\frac{x}{k})\cos(x)$ es no decreciente en ese intervalo de tiempo. En particular

$$\frac{\sin(\frac{1}{k(k+1)})}{\cos(\frac{1}{k})} \leq \frac{\sin(\frac{1}{k^2})}{\cos(\frac{1}{k+1})}$$

para todos los $k\geq 2$. Esta desigualdad también se sostiene en el hecho de $k=1$ desde $\sin(1) < \sin(\pi - 2) = \sin(2)$.

Ahora obtenemos las siguientes desigualdades para todos los $k \geq 1$: $$\begin{eqnarray} \tan(\frac{1}{k}) - \tan(\frac{1}{k+1}) &=& \frac{\sin(\frac{1}{k}) \cos(\frac{1}{k+1}) - \cos(\frac{1}{k}) \sin(\frac{1}{k+1})}{\cos(\frac{1}{k}) \cos(\frac{1}{k+1})}\\ & = &\frac{\sin(\frac{1}{k(k+1)})}{\cos(\frac{1}{k}) \cos(\frac{1}{k+1})} \leq \frac{\sin(\frac{1}{k^2})}{\cos^2(\frac{1}{k+1})} \end{eqnarray}$$

y sumando de a $1$ $\infty$da el resultado deseado.