Haz de retroceso y gavilla imagen inversa

Question

Sea $\varphi \colon X \rightarrow Y$ sea un morfismo de varietys, $\mathcal{F}$ una gavilla localmente libre de $\mathcal{O}_{Y}$ -y $L$ el haz vectorial asociado. Entonces podemos construir el haz imagen inversa $\varphi^* \mathcal{F} = \varphi^{-1} \mathcal{F} \otimes_{\varphi^{-1} \mathcal{O}_{Y}} \mathcal{O}_{X}$ . Además existe el llamado haz de pullback $\varphi^*L = L \times_Y X$ .

Según http://en.wikipedia.org/wiki/Pullback_bundle "el pullback de los haces corresponde a la imagen inversa de las láminas", pero ¿cómo puedo verlo?

Gracias de antemano.

Answer 1

La forma en que yo pienso en esto (y debería ser isomorfa a la forma en que lo hace cualquier fuente acreditada) es la siguiente:

$L$ es localmente igual a $\operatorname{Spec} S(\mathcal{F})$ el espectro del álgebra tensorial simétrica sobre $\mathcal{F}$ . Esto es bastante fácil de entender en un parche afín -estás tomando sumas formales de tensores de elementos de módulo $a+b\otimes c + d\otimes e\otimes f \otimes g + u\otimes w \ldots$ donde el cociente es $x\otimes y - y\otimes x$ para que sea conmutativo.

Desde $\mathcal{F}$ es localmente libre, no es muy difícil ver que $S(\mathcal{F})$ es localmente isomorfo-sobre un parche afín abierto $\operatorname{Spec} A=U\subset Y$ lo suficientemente pequeño como para trivializar $\mathcal{F}$ -a $A[x_1,\ldots,x_n]$ donde $n$ es el rango de $\mathcal{F}$ .

Permítanme que lo explicite. En $U$ , $\mathcal{F}$ parece que el módulo $M=\bigoplus_{i=1}^n Ax_i$ . Entonces $S(M)$ es exactamente el álgebra libre sobre $A$ generado por $x_1, \ldots , x_n$ . Así que $S(M) = A[x_1,\ldots,x_n]$ y podemos ver que es razonable llamar a $\operatorname{Spec} S(\mathcal{F})$ un "haz vectorial", ya que localmente se parece a $\mathbb{A}^n_U$ .

Bien, ahora supongamos que $X\to Y$ viene dada localmente por un morfismo de anillos $A\to B$ donde $\operatorname{Spec} B = V \subset X$ . El pullback de $M$ es claramente el cambio de base $M\otimes_A B = \bigoplus_{i=1}^n B x_i$ .

Pero, ¿qué tal si retiramos el fardo? Bueno, es que $\mathbb{A}^n_U \times_U V = \mathbb{A}^n_V$ . O, a nivel de anillos, tenemos $S(M) \otimes_A B = S(M\otimes_A B)$ . Y eso también funciona a nivel de gavilla: $S(\mathcal{F}) \otimes_{\varphi^{-1} \mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X = S(\mathcal{F}\otimes_{\varphi^{-1} \mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X)$ .

Todo esto da lugar a un diccionario bastante fuerte (en realidad, una equivalencia de categorías) entre las láminas localmente libres y los llamados "haces vectoriales geométricos". En realidad, es un poco más general que eso: si nos fijamos bien en cómo los morfismos de las láminas se elevan a los haces correspondientes, veremos que siempre que $\mathcal{F}$ es reflexivo -es decir, el mapa natural $\mathcal{F}\to\mathcal{F}^{\vee\vee}$ es un isomorfismo-puede identificarse prácticamente con su haz-la sheafy $\operatorname{Spec} S(\mathcal{F})$ . Puedes pensar en ellos como paquetes singulares.

Answer 2

Hay un montón de buenas respuestas a esta pregunta ya, y esto no puede añadir mucho que no está ya presente, pero sólo para enfatizar, no hay ninguna razón para analizar las cosas afín localmente, ya que esto es una consecuencia de las propiedades en gran medida formal de la construcción de la equivalencia (anti-equivalencia si decide omitir el dual) entre haces vectoriales geométricos y finito localmente libre $\mathscr{O}_X$ -a través del espectro relativo (en cualquier esquema $X$ lo que sea). A saber, una vez que uno construye el espectro relativo de un álgebra cuasi-coherente (que en algún momento requiere que uno trabaje con aperturas afines), la compatibilidad con el pullback se sigue de cualquier propiedad caracterizadora que uno elija usar para el espectro relativo (mi preferencia personal es usar el functor que representa).

Si $\mathscr{F}$ es cualquier $\mathscr{O}_X$ -el haz vectorial geométrico correspondiente es $\mathbf{A}(\mathscr{F})=\underline{\mathrm{Spec}}_X(\mathrm{Sym}_{\mathscr{O}_X}(\mathscr{F}^\vee))$ (No estoy totalmente seguro de si ésta es la convención estándar o si lo es omitir el dual). En general, si $\mathscr{A}$ es un cuasi-coherente $\mathscr{O}_X$ -álgebra (como $\mathrm{Sym}_{\mathscr{O}_X}(\mathscr{F}^\vee))$ y $g:X^\prime\to X$ es un morfismo, entonces existe un isomorfismo canónico $\underline{\mathrm{Spec}}_{X^\prime}(g^*(\mathscr{A}))\simeq X\times_X\underline{\mathrm{Spec}}_X(\mathscr{A})$ (se puede comprobar muy fácilmente utilizando la descripción del functor de puntos del espectro relativo que a veces se toma como su propiedad definitoria). En el caso del haz vectorial, también se utiliza que el pullback conmuta con la formación del álgebra simétrica (y la dualidad, si se incluye ese dual) para módulos finitos localmente libres (la formación del álgebra simétrica conmuta con el pullback para módulos generales cuasicoherentes, no sólo para los finitos localmente libres). Para más detalles sobre estas cosas, recomiendo http://stacks.math.columbia.edu/tag/01LQ y http://stacks.math.columbia.edu/tag/01M1 así como el capítulo 11 del maravilloso libro de Görtz-Wedhorn.

Answer 3

$Sh(X)\leftrightarrows Et(X)$ es la razón profunda; por ejemplo, en "Sheaves in Geometry and Logic" se define la gavilla imagen inversa como la gavilla asociada al pullback del haz que corresponde a la gavilla que estás considerando.

Answer 4

Para simplificar, parto del caso del haz vectorial trivial sobre $\operatorname{Spec}\mathbb{K}$ .

Sea $\mathbb{V}$ sea un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{K}$ de dimensión finita; definida \begin{equation*} \mathbb{K}[\mathbb{V}^{\lor}]=\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}S^n(\mathbb{V}^{\lor})\equiv\operatorname{Sym}(\mathbb{V}) \end{equation*} donde $\mathbb{V}^{\lor}$ es el espacio dual y $S^n(\cdot)$ es el $n$ -ésima potencia simétrica de $\cdot$ obtenemos \begin{equation*} \mathscr{V}=\operatorname{Spec}\mathbb{K}[\mathbb{V}^{\lor}], \end{equation*} porque \begin{gather} \forall A\in Ob(\mathbf{Alg}_{\mathbb{K}}),\,\mathscr{V}(\operatorname{Spec} A)=\hom_{\mathbf{Sch}}(\operatorname{Spec}A,\mathscr{V})\cong\hom_{\mathbf{Alg}_{\mathbb{K}}}(\mathbb{K}[\mathbb{V} ^{\lor}],A)\cong\\ \cong\hom_{\mathbf{Mod}_{\mathbb{K}}}(\mathbb{V}^{\lor},A)\cong\mathbb{V}\otimes_{\mathbb{K}}A; \end{gather} donde las categorías son obvias.

En particular, si $\dim\mathbb{V}=m$ se puede demostrar: \begin{equation} \mathscr{V}\cong\mathbb{A}^m_{\mathbb{K}}, \end{equation} es decir $\mathscr{V}$ es el haz vectorial trivial (geométrico) en $\operatorname{Spec}\mathbb{K}$ .

Esta construcción es generalizable a módulos libres $M$ sobre un anillo (conmutativo con la unidad) $R$ , obteniendo \begin{equation*} \mathscr{M}=\operatorname{Spec}R[M^{\lor}]; \end{equation*} explícitamente, si $M=R^{\oplus m}$ entonces $\mathscr{M}\cong\mathbb{A}^m_R$ es el haz vectorial trivial (geométrico) ove $\operatorname{Spec}R$ .

De todo esto, porque una gavilla localmente libre $\mathcal{F}$ sobre un esquema $Y$ es localmente isomorfo a alguna gavilla libre $\widetilde{M}=\mathcal{O}_{Y|V}^{\oplus n}$ y se puede demostrar: \begin{equation} \mathscr{M}=\operatorname{Spec}\widetilde{M}; \end{equation} este régimen se denomina haces vectoriales triviales (geométricos) $V$ y su encolado es el haz vectorial (geométrico) $E$ en $Y$ asociado a $\mathcal{F}$ .

Para mayor claridad $V$ sea un subconjunto afín abierto de $Y$ tal que $\mathcal{F}_{|V}$ es isomorfo a $\mathcal{O}_{Y|V}^{\oplus n}$ en la notación anterior: $R=\mathcal{O}_Y(V)$ y $\mathscr{E}_{|V}\cong\mathbb{A}^n_V=\mathbb{A}^n_R\times_{\operatorname{Spec}R}V$ . Encolado en todos $V$ 's uno construye de nuevo $Y$ Por lo tanto, se puede pegar el $\mathscr{E}_{|V}$ y construye el espacio total $\mathscr{E}$ de $E$ .

Sea $V$ un subconjunto abierto de $Y$ y que $U$ sea un subconjunto abierto de $X$ tal que $\varphi(U)\subseteq V$ ; si $U$ trivializa $\varphi^{*}\mathcal{F}$ y $V$ trivializa $\mathcal{F}$ sin pérdida de generalidad, $U$ y $V$ puede asumirse como afín y entonces $\varphi_{|U}$ corresponde a $\varphi_{|U}^{\sharp}:\operatorname{Spec}\mathcal{O}_Y(V)\equiv\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}\mathcal{O}_X(U)\equiv\operatorname{Spec}B$ y por lo tanto: \begin{gather} (\varphi_{|U})^{*}\mathcal{F}_{|V}\cong(\varphi_{|U})^{*}\mathcal{O}_{Y|V}^{\oplus n}\cong(\varphi_{|U})^{*}\widetilde{A^{\oplus n}}=(\varphi_{|U})^{-1}\left(\widetilde{A^{\oplus n}}\right)\otimes_{(\varphi_{|U})^{-1}\mathcal{O}_{Y|V}}\mathcal{O}_{X|U}\cong\\ \cong\left(\varphi^{-1}\mathcal{F}\otimes_{\varphi^{-1}\mathcal{O}_Y}\mathcal{O}_X\right)_{|U}=(\varphi^{*}\mathcal{F})_{|U}=\widetilde{A^{\oplus n}\otimes_B B}=\widetilde{B^{\oplus n}}. \end{gather} Por razonamiento previo: \begin{equation} (\varphi^{-1}\mathscr{E})_{|U}=\operatorname{Spec}(\varphi^{*}\mathcal{F})_{|U}\cong\operatorname{Spec}(\varphi_{|U})^{*}\mathcal{F}_{|V}=(\varphi_{|U})^{-1}\mathscr{E}_{|V} \end{equation} pegando este esquema para todos $U$ y $V$ se construye el haz vectorial (geométrico) $\varphi^{-1}E$ en $X$ asociado a $\varphi^{*}\mathcal{F}$ en particular, el siguiente diagrama \begin{equation} \require{AMScd} \begin{CD} \varphi^{-1}\mathscr{E} @>>> \mathscr{E}\\ @VVV & @VVV\\ X @>>\varphi> Y \end{CD} \end{equation} es cartesiano en la categoría $\mathbf{Sch}$ de esquemas, entonces $\varphi^{-1}\mathscr{E}=\mathscr{E}\times_{Y,\varphi}X$ hasta isomorfismo canónico.