Fórmula de la suma de raíces cuadradas.

Question

Me gustaría saber si existe una fórmula para calcular la suma de series de raíces cuadradas $\sqrt{1} + \sqrt{2}+\dotsb+ \sqrt{n}$ como el de la serie $1 + 2 +\ldots+ n = \frac{n(n+1)}{2}$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

En el caso de las raíces cuadradas enteras, hay que tener en cuenta que hay tramos de valores iguales y longitudes crecientes

$$1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4\dots$$

Para cada número entero $i$ hay $(i+1)^2-i^2=2i+1$ réplicas, y por las fórmulas de Faulhaber

$$\sum_{i=1}^m i(2i+1)=2\frac{2m^3+3m^2+m}6+\frac{m^2+m}2=\frac{4m^3+9m^2+5m}{6}.$$

Cuando $n$ es un cuadrado perfecto menos $1$ todos los recorridos son completos y se aplica la fórmula anterior, con $m=\sqrt{n+1}-1$ .

De lo contrario, la última ejecución está incompleta y tiene $n-\left(\lfloor\sqrt n\rfloor\right)^2+1$ elementos.

Por lo tanto, con $m=\lfloor\sqrt n\rfloor$ ,

$$S_n=\frac{4(m-1)^3+9(m-1)^2+5(m-1)}{6}+m\left(n-m^2+1\right)\\ =m\left(n-\frac{2m^2+3m-5}6\right).$$

Answer 2

La definición de los números armónicos es $$H_p^{(-a)}=\sum_{i=1}^p i^a $$ Cuando $a$ no es un número entero positivo, no hay una forma cerrada pero, como comentó Yves Daoust, hay expansiones bastante bonitas.

Por ejemplo, si $n=\frac 12$ como en el puesto, tiene $$H_p^{\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{2 p^{3/2}}{3}+\frac{\sqrt{p}}{2}+\zeta \left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{24\sqrt p}+O\left(\left(\frac{1 }{p}\right)^{5/2}\right)$$ donde $\zeta \left(-\frac{1}{2}\right)\approx -0.2078862250$ .

Por ejemplo, para $p=10$ el valor exacto es $\approx 22.46827819$ mientras que la aproximación anterior da $\approx 22.46827983$ . Por sí mismo, el primer término ya da $21.0819$ la suma del primer y segundo término da $\approx 22.6629$ . Para $p=100$ la aproximación conduce a $12$ cifras significativas exactas.

Existen expansiones similares para cualquier valor del exponente $a$

Answer 3

Para una solución más fácil, observe que $f(x) = \sqrt{x}$ es una función monótona creciente, por lo que para cada $[k ,k+1]$ $$ \int_{k-1}^{k} \sqrt{x} dx<\sqrt{k}<\int_{k}^{k+1} \sqrt{x} dx $$ Ahora suma sobre k, obtendrás una aproximación nítida

Answer 4

http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram09.pdf http://arxiv.org/pdf/1204.0877.pdf
Consulte los documentos. Así de sencillo.

Answer 5

Hay una fórmula en la web. Lea el artículo titulado "Suma de raíces cuadradas para números enteros naturales: Un nuevo ensayo para resolver un viejo problema económico". Siga el enlace: http://www.ahewar.org/eng/show.art....erID=0&aid=2158

Buena suerte.