¿Cuántos homomorfismos de grupo $g: \mathbb{Z}_{5} \oplus \mathbb{Z}_{10} \to \mathbb{Z}_{15}$ ¿están ahí?

Question

Sé que hay preguntas similares formuladas aquí en MSE, pero ninguna de ellas aborda realmente las preguntas específicas que tengo (además, me gustaría saber si mi enfoque es válido y/o si hay una forma "mejor" de hacerlo).

(a) Si $f: \mathbb{Z}_{15} \to \mathbb{Z}_{5} \oplus \mathbb{Z}_{10}$ es un homomorfismo de grupo no trivial, ¿cuál es el núcleo de $f$ ?

(b) ¿Cuántos homomorfismos de grupo $g: \mathbb{Z}_{5} \oplus \mathbb{Z}_{10} \to \mathbb{Z}_{15}$ ¿están ahí?

Mi intento:

(a) (Creo que esta parte la tengo.) Deja $G = \mathbb{Z}_{15}$ , $H = \mathbb{Z}_{5} \oplus \mathbb{Z}_{10}$ y $K = \ker f$ . Por el Primer Teorema de Isomorfismo, $|G|/|K| = |f(G)|$ y $|f(G)|$ divide $|H|$ . Desde $|G| = 15$ y $|H| = 50$ (y como $f$ es, por supuesto, no trivial) esto significa que $|K|$ debe ser $3$ . Por lo tanto, ya que $K$ es un subgrupo (normal) de $G$ de orden $3$ , $K = \{0, 5, 10\}$ .

(b) Si $g: H \to G $ es un homomorfismo, entonces por un argumento similar al de (a), $|\ker g|$ debe ser $50$ o $10$ . Si $|\ker g|= 50$ entonces $g$ es el homomorfismo trivial (así que es un homomorfismo). Si $|\ker g| = 10$ entonces $g(H)$ es un subgrupo de $G$ de orden $5$ y así $g(H) = \{0, 3, 6, 9, 12 \}$ . Pero, ¿cómo puedo saber si ese homomorfismo existe? Además, si dicho homomorfismo existe, ¿hay más de uno?

Answer 1

Para (a) tienes razón: $|f(G)|$ debe dividir ambos $|G|$ y $|H|$ , por lo que sólo puede ser $1$ o $5$ . Dado que el homomorfismo no es trivial, el último caso se mantiene. Por lo tanto, $|K|=3$ y hay un único subgrupo de $G$ de orden $3$ , a saber $\{0,5,10\}$ .

Un homomorfismo $g\colon\mathbb{Z}_5\oplus\mathbb{Z}_{10}\to\mathbb{Z}_{15}$ se determina en cuanto asignamos $g_1\colon\mathbb{Z}_5\to\mathbb{Z}_{15}$ y $g_2\colon\mathbb{Z}_{10}\to\mathbb{Z}_{15}$ .

De hecho, si $g$ está dado, podemos definir $g_1(x)=g(x,0)$ y $g_2(y)=g(0,y)$ . A la inversa, dado $g_1$ y $g_2$ podemos definir $g(x,y)=g_1(x)+g_2(y)$ .

Así, sólo hay que contar los homomorfismos $g_1\colon\mathbb{Z}_5\to\mathbb{Z}_{15}$ y $g_2\colon\mathbb{Z}_{10}\to\mathbb{Z}_{15}$ .

Para ello hay que determinar los elementos $z\in\mathbb{Z}_{15}$ tal que $5z=0$ o $10z=0$ respectivamente.