Distancia de dos puntos en$\mathbb{R}^N$$\leq$ longitud de la curva

Question

Deje$\gamma$ #% sea un% #% #% y -curve% #% #% con% #%.

Mi intuición me dice que $C^1$ , donde $x,y \in \mathbb{R}^N$ es la longitud de una curva. ¿Es esto cierto y cómo mostrarlo?

Answer 1

Esto se puede ver fácilmente con un cálculo directo:

PS

Answer 2

La longitud de una $C^0$ curva de $\gamma\colon[0,1]\to\Bbb R^n$ se define como el supremum sobre todos los $$\|\gamma(t_1)-\gamma(t_0)\|+\|\gamma(t_2)-\gamma(t_1)\|+\ldots+\|\gamma(t_m)-\gamma(t_{m-1})\| $$ donde el supremum se toma sobre todos los $m$ y ordenado de secuencias de $0=t_0<t_1<\ldots <t_m=1$ (y la curva se llama subsanables si que supremum es finito). Como $m=1$, $t_0=0$, $t_1=1$ está entre estos, el reclamo de la siguiente manera.

Answer 3

Puede aproximar la curva con un trazado poligonal (voy a definir lo que quiero decir por "poligonal" ruta de aquí); por la elección de $n$ puntos $\{ y_k \}_{k=1}^{n}$ en la curva, incluyendo sus iniciales y terminales de puntos, aproximado por la poligonal camino que se hizo de los segmentos de recta con extremos de $y_k$ e $y_{k+1}$, $k=1,...,n-1$. Como $n\to\infty$, la aproximación es mejor y mejor. Esto es debido a que $\gamma$ es $C^1$.

Entonces solo tenemos que demostrar que de todos los poligonal rutas de $x$ a $y$, el más corto es el hecho de una sola línea, segmento, el segmento de la línea de $x$ a $y$

Se puede tomar desde allí, utilizando la Desigualdad de Triángulo y algunos de inducción?