Si una representación es invariable para Galois, ¿se define sobre el campo más pequeño?

Question

Tomar un número finito de extensión de característica cero los campos de $L/F$ que es Galois. Deje $G$ ser un grupo finito y $(V,\rho)$ un finito-dimensional representación de $G$ sobre $L$. Suponga que las representaciones de $V$ e $V^{\sigma}$ son isomorfos para cada $\sigma\in\text{Gal}(L/F)$. ¿Significa esto que la $V$ es realizable más de $F$?

Nota: escribo $V^{\sigma}$ para el mismo conjunto como $V$, pero con cada una de las $g\in G$ actuando por $\sigma(\rho(g))$ , en lugar de por $\rho(g)$. Por $\sigma(\rho(g))$ me refiero a la entrada-sabia conjugación de la matriz $\rho(g)$.

EDIT: también sería bueno saber qué sucede cuando la extensión de $L/F$ no es finito (pero todavía Galois).

Answer 1

Que No, que las representaciones son isomorfos significa que tienen el mismo carácter $\chi$ por lo que debe ser $F$con valores, existe alguna representación sobre $F$ tal que $tr \ \Pi = d \chi$ , pero a veces necesitamos un campo más amplio para obtener $d=1$.

Esa es la diferencia entre la extensión de $K$ (de $\Bbb{Q}$) generado por la tabla de caracteres y una división de campo para $G$ : de un número finito de extensión (de $K$) donde todas las representaciones irreducibles puede ser realizado.

La tabla de caracteres de los cuaterniones $Q_8$ es de $\Bbb{Q}$ pero algunas de las representaciones de la necesidad campos como la $\Bbb{Q}(i)$ (o $\Bbb{Q}(\sqrt{-1-m^2})$ a realizarse.