¿Es esta animación una homotopía?

Question

Me refiero a la animación que se muestra en este sitio web de Wikipedia de un homeomorphism. https://en.wikipedia.org/wiki/Homeomorphism

De hecho, se afirma que esta animación muestra una continua deformación (de hecho parece como si se demuestra una fuerte deformación de retracción) entre un toro y una taza. Sin embargo, me parece de animación bastante engañoso en el que ilustra un homotopy. Vamos a considerar la base de la taza a ser un disco cerrado de radio 1 centrada en el origen de la $xy$ plano, y asumir que el estándar de la topología de ser utilizado en todo momento para fines de esta discusión. Si uno se para examinar la transición de un toro a una taza, que es representar a un homotopy $H:S^1\times S^1\times I\rightarrow M$ donde $M = D^2\times 0\cup S^1\times I\cup K$ (donde $K$ es el asa de la taza, que no es de interés en esta cuestión), vamos a $t^{'}\in I$ ser el momento en el $t^{'}$ donde el toro se asignan a los sólidos definidos por $D^2\times I$. La restricción $H$ a $S^1\times S^1\times [t^{'},1]$, que denotamos por $H^{*}$, por la afirmación de que el $H$ es continua entonces es $H^{*}$. Transformamos $H^{*}$ linealmente tal que $H^{*}:D^2\times I\times I\rightarrow\mathbb{R}^3$ es un homotopy. Desde $D^2\times I\cup K$y el toro es homeomórficos, con homeomorphism $p: D^2\times I\rightarrow S^1\times S^1$, el mapa de $H^{*}\circ p\times Id_I: D^2\times I\rightarrow \mathbb{R}^3$ también debe ser continua. Con el estándar de la topología dotado de las herramientas estándar de análisis son aplicables. Considere la posibilidad de cualquier pequeño barrio centrado en $(1,0,1,s)$ para $s\centernot=0,s\in I$. No hemos de ser capaces de encontrar una lo suficientemente pequeño $\epsilon$ tales que existe de que el no $\delta$ existe por el cual siempre $||k-(1,0,1,s)||<\delta$, $||H(k)-H(1,0,1,s)||<\epsilon$?. De forma intuitiva y a grandes rasgos, no puedo convencerme de que la animación es continuo, como un pedazo de sólido está siendo empujado hacia abajo verticalmente de $D^2\times I$.

Tenga en cuenta que hemos modelado la taza de negliglble espesor. Desde $D^2$ está conectado podemos cambiar el argumento para una taza con espesor sin alterar el propósito de esta pregunta. Me imagino la deformación motivare la construcción de la propuesta de homotopies y por lo tanto siento que esta pregunta es vale la pena preguntar. Gracias de antemano.

Answer 1

Considerar erróneamente la taza, como una superficie, mientras que es evidente a partir de la figura que es un cuerpo sólido, y la muestra de la superficie es la superficie externa de este órgano. Por lo tanto, si el asa de la taza sería eliminado, esta superficie puede ser definida como $$\begin{align} &\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le 10,\quad z=0\}\\ \cup\quad&\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le 9,\quad z=1\}\\ \cup\quad&\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=10,\quad 0\le z\le 10\}\\ \cup\quad&\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=9,\quad 1\le z\le 10\}\\ \cup\quad&\{(x,y,z)\mid 9\le x^2+y^2\le 10,\quad z=10\} \end{align}$$ Así, el primer paso de la animación es el homotopy para que la superficie en el momento en $0\le t\le 1$es: $$\begin{align} &\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le 10,\quad z=0\}\\ \cup\quad&\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le 9,\quad z=1+t(10-1)\}\\ \cup\quad&\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=10,\quad 0\le z\le 10\}\\ \cup\quad&\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=9,\quad 1+t(10-1)\le z\le 10\}\\ \cup\quad&\{(x,y,z)\mid 9\le x^2+y^2\le 10,\quad z=10\} \end{align}$$ Se puede ser más claro acerca de su preocupación con este homotopy?