Ecuación funcional de número racional complicada

Question

Deje $\mathbb{Q}^+$ denota el conjunto de los números racionales positivos. Deje $f : \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{Q}^+$ ser una función tal que $f \left( x + \frac{y}{x} \right) = f(x) + \frac{f(y)}{f(x)} + 2y$ para todos los $x,$ $y \in \mathbb{Q}^+.$

Encontrar todos los posibles valores de $f \left( \frac{1}{3} \right).$

Si me sustituya en $x=y$, luego me $f(x+1)-f(x)=2x+1$. Esto sugiere que la $f(x)=x^2$ obras, y un posible valor de $f(1/3)$ es $1/9$. ¿Se me olvida algo?

Answer 1

Sí.

Pero lo que no hizo fue demostrar que disponía de todos los valores posibles. Si alguien le dijera a solucionar $x^2=1$, usted no podría decir $1$ y se deja. Se demostraría que la $1$ es la única solución, o encontrar más soluciones y demostrar que se había encontrado a todos.

Una de las cosas semejantes se aplica aquí. La pregunta es para que usted encuentre todos los valores posibles. ¿Cómo sabes que tienes todas las de ellos?

He aquí un bosquejo de cómo probar que usted tiene todas las soluciones: Set $y:=y+x$ y restar la ecuación original para obtener $$2x+2\frac{y}{x}+1=\frac{f(y+x)-f(y)}{f(x)}+2x$$Reorganizar y simplificar:

$$2\frac{y}{x}f(x)+f(x)=f(y+x)-f(y)$$ Repetir el mismo truco: set $y:=y+1$ y restar que la última ecuación para obtener $$2\frac{f(x)}{x}=2y+2x+1-2y-1$$ por lo $f(x)=x^2$ como se requiere. Acabo de comprobar que esto funciona mediante la sustitución de nuevo en la ecuación original.

Answer 2

De $f(x+1)-f(x)=2x+1$, podemos deducir que $f(x)=x^2+f(1)-1$ para todos los $x\in\mathbb{Z}^+$.

Tenga en cuenta que también tenemos $f(1+\frac x1)=f(1)+\frac{f(x)}{f(1)}+2x$.

Por lo tanto, $f(x+1)=f(x)+2x+1=\dfrac{f(x)}{f(1)}+2x+f(1)$.

Por lo tanto, $f(x)\left(1-\dfrac{1}{f(1)}\right)=f(1)-1$ para $x\in\mathbb{Q}^+$.

Como $f$ no está constantemente cero, $f(1)=1$. Así, $f(x)=x^2$ para $x\in\mathbb{Z}^+$.

$f(3+\frac{1}{3})=f(3)+\frac{f(1)}{f(3)}+2(1)=3^2+\frac{1}{3^2}+2=11+\frac19$

$f(2+\frac{1}{3})=f(3+\frac{1}{3})-2(2+\frac13)-1=5+\frac49$

$f(1+\frac{1}{3})=f(2+\frac{1}{3})-2(1+\frac13)-1=1+\frac79$

$f(\frac{1}{3})=f(1+\frac{1}{3})-2(\frac13)-1=\frac19$

Answer 3

Tenemos $$\tag{$x=y=1$} f(2)=f(1)+3$$ $$\tag{$x=1,y=2$} f(3)=f(1)+\frac{f(2)}{f(1)}+4=f(1)+5+\frac3{f(1)}$$ $$\tag{$x=y=2$} f(3)=f(2)+5=f(1)+8$$ por lo tanto $f(1)=1$. Deje $S=\{\,x\in\Bbb Q_+\mid f(x)=x^2\,\}$. Como se acaba de ver, $1\in S$. A partir de la funcional de la ecuación, vemos que si $x$ y uno de $y,x+\frac yx$ se $\in S$, entonces también lo es la tercera. En otras palabras, $$\tag1x,y\in S\implies x+\frac yx\in S $$ y $$\tag2 x,y\in S\land x<y\implies (y-x)x\in S.$$ En particular, el uso de $(1)$ con $y=x$ e $(2)$ con $x=1$, encontramos que para $x\in \Bbb Q_+$, $$\tag3x\in S\iff x+1\in S$$ and so by induction $\Bbb Z_+\subseteq S$.

Deje $x=\frac ab\in\Bbb Q_+$. De $(1)$, $b+x\in S$. A continuación, mediante la aplicación de $(3)$ $b$ veces $x\in S$. En otras palabras, $S=\Bbb Q_+$y $$f(x)=x^2$$ para todos los $x\in\Bbb Q_+$.