$\newcommand{\oh}{\mathcal{O}} \newcommand{\QCoh}{\mathsf{QCoh}} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\Mod}{\text{-}\mathsf{Mod}}$Estoy trabajando en la prueba de la Proposición 10 de las notas de Murfet. La proposición es la siguiente:
Sea $f : X \ra Y$ un morfismo de esquemas, donde $X$ es noetheriano y $Y = \text{Spec} A$ es afín. Entonces para cualquier $ \F \in \QCoh(X)$ y $i \geq 0$ existe un isomorfismo canónico de haces de módulos en $Y$ natural en $\F$ $$ \beta : R^if_* \F \longrightarrow \widetilde{H^i(X, \F)}.$$
La prueba continúa de la siguiente manera (he marcado mis preguntas con "Q:"):
$R^if_* \F$ tiene una estructura de $\oh_Y$-módulo canónica y $H^i(X, \F)$ tiene una estructura de módulo de $\Gamma(X, \F)$ canónica, y dado que $\Gamma(X, \F)$ tiene la estructura de un $A$-módulo, $H^i(X, \F)$ tiene una estructura de $A$-módulo. Además, $X$ noetheriano implica que $f_* \F \in \QCoh(Y)$. Por lo tanto, tenemos un isomorfismo canónico de haces $$ f_* \F \cong \widetilde{\Gamma(X, \F)}. $$ Q: No estoy seguro de por qué tenemos esto. Sé que si en general $\F$ es un haz cuasi-coherente en $X$, entonces para $U_i$ abiertos de una cobertura particular de $X$, tenemos $\F|_{U_i} \cong \widetilde{F(U_i)}$. Pero no estoy seguro de cómo derivamos lo anterior. He intentado $$ f_* \F|_{U_i} = \F(f^{-1}(-))|_{U_i} $$ pero esto realmente no me lleva a ninguna parte.
Continuando con la prueba, para $i=0$ tenemos un isomorfismo canónico natural en $\F$ $$ \mu^0 : R^0f_* \F \cong f_* \F \cong \widetilde{\Gamma(X, \F)} = \widetilde{H^0(X, \F)} \quad \checkmark $$ Ahora, dado que el funtor tilde $\widetilde{-}: A \Mod \ra \oh_Y \Mod$ es exacto, tenemos dos $\delta$-funtores cohomológicos $\{ R^i f_*(-) \}_{i \geq 0}$ y $\{ \widetilde{H^i(X, -)} \}_{i \geq 0}$ entre $\QCoh(X)$ y $\oh_Y \Mod$.
Q: ¿Por qué esto sigue de la exactitud del funtor tilde? Disculpas; esto puede ser obvio (no tengo mucha experiencia en mi conocimiento de $\delta$-funtores).
Los haces cuasi-coherentes pueden ser embebidos en haces cuasi-coherentes flascos. Por lo tanto, ambos funtores son eficaces para $i>0$.
Q: ¿Por qué los $\delta$-funtores siendo eficaces sigue de esto? Eficaz significa (en este caso) que para cualquier objeto $\F \in \QCoh(X)$ existe un monomorfismo $u : \F \ra \mathcal{G}$ tal que $\{ R^i f_*(u) \}_{i \geq 0} = 0$ y $\{\widetilde{H^i(X, u)} \}_{i \geq 0}=0$, algún $\mathcal{G}$. Creo que esto es porque podemos decir que $u$ es la inserción en un haz cuasi-coherente flasco, y dado que la cohomología de haces se anula para haces flascos y las imágenes directas superiores, obtenemos el resultado. ¿Es esto correcto a excepción de los detalles?
Luego, por un teorema de Grothendieck, ambos $\delta$-funtores son universales (es decir, un $\delta$-functor universal se caracteriza por la propiedad de que dar cualquier morfismo de él a cualquier otro $\delta$-functor es equivalente a dar solo el grado $0$). Por lo tanto, $\mu^0$ da lugar a la equivalencia natural canónica que requerimos.
Disculpas por el largo mensaje y gracias por cualquier respuesta!
