Espacios topológicos que no son seudometrizables.

Question

Deje $(X,\tau)$ ser un espacio topológico. Entonces sabemos que algunas de las condiciones bajo las cuales $(X,\tau)$ es metrizable (véase, por ejemplo, este y este). También es claro a partir de estos teoremas que no todo espacio topológico metrizable.

Sin embargo, me pregunto si lo mismo es cierto para pseudometric espacios también. Para ser más específicos,

No existen espacios topológicos que no son pseudometrazible?

Estamos de acuerdo en llamar a un espacio topológico $(X,\tau)$ a ser pseudometrizable iff existe una pseudometric $d$ a $X$ tal que la topología inducida por la psuedometric es $\tau$.

Answer 1

Un pseudometric espacio es simétrica (también llamado $R_0$): si $x \in \overline{\{y\}}$ entonces $y \in \overline{\{x\}}$ (básicamente porque $d(x,y)=0$ implica $d(y,x)=0$ demasiado, también en pseudometric espacios).

Sierpinski espacio ($X=\{0,1\}$ con topología $\{\emptyset,\{0\},X\}$) no es simétrica, por lo que no pseudometrisable. (Debido a que $1 \in \overline{\{0\}}$ pero no al revés). Este es el ejemplo más sencillo, sin duda la más pequeña.

Si $X$ es $T_1$ entonces $X$ es metrisable iff $X$ es pseudometrisable. (la $T_1$ asegura que $X$ también $R_0$ y para la no-existencia de cualquiera de los puntos $x,y$ con $x \neq y$ pero $d(x,y)=0$. Así que el pseudometric para $X$ en el derecho es una métrica.)

Así que espacios como el cofinite la topología en $\mathbb{N}$ no es pseudometrisable, como no metrisable (no Hausdorff para empezar...) También, la línea de Sorgenfrey, el Michael línea, flecha doble espacio, etc, etc.

Answer 2

El espacio de Sierpinski no es pseudometrizable. La prueba de Kolmogorov cociente de un pseudometric espacio es la métrica. Sin embargo, el espacio de Sierpinski ya es $T_0$, pero no es Hausdorff, y por lo tanto no métrica.

El espacio de Sierpinski es el espacio topológico en dos puntos con la topología $$\{\varnothing, \{0\}, \{0,1\}\}.$$