No entiendo cómo el límite no existe para la función compuesta. El límite a medida que x se acerca a -2 para g(x) es cero. Así que el último paso es evaluar h(0), que es -1. Sí, hay un agujero en x=0 pero eso no significa que no se pueda evaluar h(0).
Es cierto que $\lim_{x\to-2}g(x)=0$ pero como $g(x)$ va a $0$ llega allí desde dos direcciones. A saber, desde arriba y desde abajo. Pasa por valores como $-0.1$ , $-0.001$ , $-0.0001$ etc. desde abajo y a través de valores como $0.1$ , $0.001$ , $0.0001$ etc. desde arriba. Eso equivale a evaluar $\lim_{x\to 0}h(x)$ que, según la teoría de los límites, son en realidad dos límites unilaterales bajo el capó. ¿Y qué hace la función $h(x)$ enfoque al ir a $0$ de la derecha y de la izquierda?
$$\lim_{x\to 0^-}h(x)=1$$ y $$\lim_{x\to 0^+}h(x)=-1.$$
Esos dos límites no coinciden y, por tanto, el límite en sí no existe.
Lo entiendo, pero la fórmula para obtener el límite de h(g(x)) o de cualquier función compuesta sólo implica encontrar el límite de la función interna (en este caso g(x)) y luego introducir este valor en h(x). No nos importan los límites de h(x), sino de g(x).
Como vas a $2$ la expresión $g(x)$ se está convirtiendo en una cantidad que se parece cada vez más a $0$ . Así que, al ir a $2$ se obtienen valores como $0.001$ , $0.001$ , $0.00001$ , $0.00001$ etc. Esto equivale a evaluar $\lim_{x\to0}h(x)$ que no existe porque, desde la izquierda y desde la derecha, $h(x)$ se acerca a diferentes valores de la función.
Para que el límite exista debe cumplirse lo siguiente: $$\lim_{x\uparrow-2}h(g(x))=\lim_{x\downarrow-2}h(g(x))=h(g(0)),$$ Observando la imagen podemos ver que el límite izquierdo $$\lim_{x\uparrow-2}h(g(x))=\lim_{x\uparrow0}h(x)=1$$ el límite correcto $$\lim_{x\downarrow-2}h(g(x))=\lim_{x\downarrow0}h(x)=-1$$ y $h(g(-2))=h(3)=1$ .
El límite existe si cada punto cercano a $-2$ en el dominio mapea a unos puntos cercanos en la imagen.
Si $x$ es ligeramente mayor que $-2$ entonces $g(x)$ es ligeramente mayor que $0$ y $(h\circ g)(x)$ es ligeramente mayor que $-1$
pero si $x$ es ligeramente inferior a $-2$ entonces $g(x)<0$ y $(h\circ g)(x) > 1$
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En el JPEG veo que hay dos valores para $h(0)$ y hay que considerar el límite de estos valores de $g(-2)$
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No se evalúa $h(0)$ . Debe determinar $\lim_{x\to0}h(x)$ en su lugar.
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¿Qué es? $h(g(-2.001))$ ? $h(g(-1.999))$ ? ¿Se cierra esta brecha hacia $0$ como $x \to -2$ ?
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Me parece que evalúas h(0). Estoy siguiendo el método que veo en todo Internet, que consiste en encontrar el límite de la función interna (en este caso g(x)) y luego introducir este valor en la función externa (o h(x)). No nos importan los límites de h(x) sino de g(x).
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límite de la función interna, enchufe en la función externa . Eso sólo funciona si la función exterior es continua. La razón por la que se ve en todo Internet, es que las funciones en todo Internet son continuas.
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Sólo puedes decir $$\lim_{x\to x_0} h(g(x))=h(\lim_{x\to x_0} g(x))$$ si $h$ es continua y $\lim_{x\to x_0}g(x)$ existe. En su caso, $h$ no es continua.