¿Por qué un círculo con un agujero no es compacto?

Question

Tomar el avión real $\mathbb R^2$ con el estándar de la topología, y tome $A\subset \mathbb R^2$ que es un círculo cerrado, menos un pequeño círculo cerrado:

Estoy tratando de entender por qué este juego no es compacto, la sugerencia es usar la de Heine-Borel teorema. Para mí, intuitivamente, el conjunto es acotado porque puede ser cerrado por la apertura de un balón, por lo que la propiedad que le falta es ser cerrado. Una definición de un conjunto cerrado indica que el conjunto debe contener todos los puntos de su frontera, en este caso no contiene el "interior" de la frontera de los puntos, pero no creo que es una buena explicación. Otra manera de probar que no es cerrada, es $\mathbb R^2-A$ está abierto, pero el conjunto resultante tiene un circuito cerrado bola en su centro, así que yo creo que esto no lo explican bien. Cualquier conocimiento será muy apreciada.

Answer 1

¡Estás en el camino correcto! De hecho, como sugiere la sugerencia, debe mostrar que $A$ no está cerrado, es decir, no contiene todos sus puntos límite.

Para hacer esto, todo lo que necesita hacer es encontrar una secuencia en $A$ cuyo límite no esté contenido en $A$ . Puedes pensar en una?

Answer 2

Si tenemos el estándar de la unidad de círculo con un agujero en $(0,0)$, considere la secuencia de $(\frac1n, 0)$ que se encuentra en la puntured círculo y converge hacia el agujero, en el avión, al menos. Esto demuestra su conjunto no es cerrado y por lo tanto no compacto. En el caso de un anillo, tal como la describe, el conjunto podría ser algo como $\{(x,y):r<\|x\| \le R\}$ ($R$ siendo el lareg radio, $r$ el pequeño). Su límite es de dos círculos, el interior de uno de radius $r$ no ser un subconjunto de un anillo, mostrando también la no-closedness de esa manera.

Answer 3

El uso de la Heine-Borel teorema sólo significa decir, $A$ no está cerrada, por lo tanto no compacto.

Si usted desea, sin embargo, una explicación de por qué falla aquí, vamos a utilizar este caso especial: vamos a $A$ ser el cerrado de la unidad de disco, centrado en el origen, con el centro quitado. (Así que, de nuevo, $A$ no puede ser cerrado). Considerar el abrir de los conjuntos de $$ U_{n} = \left\{ x \in \mathbb{R}^2 : ||x|| > {1 \over n} \right\}, \quad n = 1, 2, \ldots. $$ Estos son los abiertos exteriores de los círculos con radios $1/n$ y centro en el origen. Los conjuntos de $U_{n}$ constituyen una cubierta abierta de $A$. Pero no es finito subcover.

Answer 4

Sugiero que usted ignore la imprecisión de los "interior" del lenguaje.

Yo también sugiero que busque en una fórmula matemática para el conjunto $A$. Deje $C$ ser el centro de los dos círculos, vamos a $r$ ser el radio del círculo más pequeño, y deje $R$ ser el radio del círculo mayor. Con esta notación tenemos $$A = \{P \in \mathbb R^2 \mid r < d(C,P) \le R\} $$ Nota la desigualdad estricta de la izquierda frente a la nonstrict la desigualdad en el derecho.

Ahora tome cualquier punto de $Q$ sobre el círculo más pequeño, es decir, cualquier punto de $Q$ tal que $d(C,Q)=r$. El punto de $Q$ es un punto límite de $A$, y el punto de $Q$ no es un elemento del conjunto $A$, y por lo tanto $A$ no está cerrado.