Sea un número positivo. Entonces $\lim_{n \to \infty}[\frac{1}{a+n}+\frac{1}{2a+n}+\cdots +\frac{1}{na+n}]$

Question

Problema

Deje que$a$ sea un número positivo. Entonces$$\lim_{n \to \infty}\left[\frac{1}{a+n}+\frac{1}{2a+n}+\cdots +\frac{1}{na+n}\right]

Por favor sugiera cómo proceder en tales problemas de límites, será de gran ayuda gracias.

Answer 1

Tenemos$$\sum_{k=1}^n \dfrac1{ka+n} = \dfrac1n \sum_{k=1}^n \dfrac1{1+a\cdot \dfrac{k}n} \sim \int_0^1 \dfrac{dx}{1+ax} = \dfrac{\log(1+a)}a