Una diferencia persistente

Question

He aquí un divertido problema de matemáticas. Yo no era capaz de conseguir - estoy curioso lo que ustedes tienen que decir.

Elija un número de cuatro dígitos, cuyos dígitos no son todos iguales. De sus dígitos forman el menor número de cuatro dígitos $m$, y la más grande, $M$. Encontrar $(M-m)$. Seguir repitiendo el procedimiento. (Tratar, decir $234$ as $0234$.) Finalmente llegarás a $6,174$ - permamently, ya que:

$7,641-1,467=6,174.$

Por ejemplo, comience con $4,818$:

$8,841-1,488=7,353;$

$7,533-3,357=4,176;$

$7,641-1,467=6,174;$ y así sucesivamente.

Se puede demostrar que siempre llegan a $6,174$?

Answer 1

Esto se conoce como la constante de Kaprekar. Podemos particionar el conjunto de posibles cuatro dígitos combinaciones en aquellos con la misma diferencia. Tenga en cuenta que debido a $M$ e $m$ comparten los mismos dígitos, que son congruentes modulo $9$, por lo que su diferencia es un múltiplo de $9$, por lo que el número de particiones que tenemos que considerar es menor que uno podría imaginar.

De hecho, el conjunto de cuatro dígitos enteros que puede ser escrito como $M-m$ es sólo en el orden de $50$. Así, estas particiones pueden entonces ser fácilmente enumeran y se coloca en un diagrama parecido al de debajo de encontrar en Wikipedia. Es un lugar 'fuerza bruta' enfoque, pero funciona.