Evaluando la suma$\sum_{i=0}^\infty \frac{F_n}{2015^n}$

Question

Encuentra$$\sum_{n=0}^\infty \frac{F_n}{2015^n}$ $

Donde$F_n$ es el$n$ - th número de Fibonacci.

¿Alguna pista?

Answer 1

Sugerencia: Si escribimos la función de generación $$ f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty F_n x ^ n $$ entonces porque$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$, $$ f (x) = x + (x + x ^ 2) f (x). $$ Por lo tanto, $$ f (x) = \ frac {x} {1 - x - x ^ 2}. $$ Su suma es$f\left(\frac{1}{2015}\right)$.

Answer 2

Use la fórmula de Binet ,$$F_n=\frac 1{\sqrt 5}\left(\left(\frac {1+\sqrt 5}2\right)^n-\left(\frac {1-\sqrt 5}2\right)^n\right)$ $ Conecte eso en su suma y tendrá dos series geométricas para sumar.

Answer 3

Hay dos series geométricas disfrazadas, ya que$$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\alpha^n-\beta^n\right),\tag{1}$$ where $ \ alpha$ and $ \ beta$ are the real roots of the second degree polynomial $ x ^ 2-x-1$. Such closed formula is straightforward to prove by induction on $ n$, since both sides of $ (1)$ equal $ 0$ at $ n = 0$, equal $ 1$ at $ n = 1$ and fulfill the recurrence $ R_ {n +2} = R_ {n +1} + R_n $. El mismo argumento lleva a la identidad:$$ \forall x:|x|<\frac{\sqrt{5}-1}{2},\qquad \sum_{n\geq 0}F_n x^n = \frac{x}{1-x-x^2},\tag{2} $ $ y al evaluar$(2)$ en$x=\frac{1}{2015}$,$$ \sum_{n\geq 0}\frac{F_n}{2015^n} = \color{red}{\frac{2015}{4058209}}\tag{3}$ $ sigue fácilmente.

Answer 4

Una forma torpe de abordar esto es comenzar probando que $$ F_n = \ frac 1 {\ sqrt 5} \ left (\ left (\ frac {1 + \ sqrt 5} 2 \ right) ^ n - \ left (\ frac {1 - \ sqrt 5} 2 \ right) ^ n \ right). $$ Esto se puede hacer por inducción en$n$, usando la recurrencia satisfecha por los números de Fibonacci.

Después de eso, solo necesitas sumar dos series geométricas separadas y agregarlas.