Hay errores de $N$ en un plano. Todos los errores se están moviendo a la misma velocidad constante (distinto de cero), pero no dos errores se están moviendo en la misma dirección (vectores velocidad son de la misma velocidad, pero no hay dos son paralelas).
Demostrar que en algún momento de tiempo $N$ bugs formarán convexo polígono.
¿Editar: Puede aflojar hasta cualquiera de las condiciones para que la declaración conserva?
El contraejemplo que yo pensaba que había aquí no funciona.
Aquí es una prueba. Dado que ninguno de los errores que se están moviendo en la misma dirección, cualquier par de líneas determinado por los vectores de velocidad se cruzan. Deje $C$ denotar el casco convexo de estos puntos de intersección. Ya que después de esperar un período de tiempo suficientemente largo de tiempo, los errores se arbitrariamente lejos de $C$, si tenemos en "zoom out" lo suficientemente lejos como $C$ será arbitrariamente pequeño con respecto al casco convexo de la ubicación de los errores. De ello se sigue que podemos asumir que $C$ es arbitrariamente pequeño, para empezar.
Podemos ahora afirmar que los errores que con el tiempo se forma un polígono convexo en el que el ángulo en el que cada vértice es estrictamente menor que $\pi$. Para ello basta con examinar una configuración de tres errores de $a, b, c$ consecutivos de la izquierda de la orden. Elegir un sistema de coordenadas en el que el centro de gravedad de $C$ es el origen y la $b$ viaja en el positivo $y$-dirección (por lo tanto, $a$ viaja a la derecha y $c$ se desplaza a la izquierda). Entonces es fácil ver que, independientemente de donde $a, b, c$ inicialmente comenzar a lo largo de sus rutas, $b$ acabará $y$-coordinar mayor que el de $a$ o $c$, así que el ángulo $abc$ eventualmente ser estrictamente menor que $\pi$.
De ello se desprende que la espera de tiempo suficientemente largo de los errores siempre se forma un polígono convexo. De hecho, los errores son aproximar el polígono convexo cuyos vértices son la unidad de vectores de velocidad de los errores.
Suponiendo que no hay insectos ser aplastados en el proceso:
En $\lim_{t\to\infty}$ al $t$ es el tiempo, los errores de' puntos de comienzo reducir a $\frac{P}{t} = 0$ como se observa cuando se aleja. Esto significa que la posición final de cada error se encuentra en $\sqrt{r^2 + (vt)^2}$, o en el borde de un gran círculo. Por lo tanto, se puede ver que todos los errores hacen un polígono convexo (o $N$-gon), ya que un círculo puede ser pensado como un regular (y convexo) $\infty$-gon.
Por supuesto, este no es el más vigoroso de la prueba en el mundo, pero está escrito en el estilo que la mayoría de los seres humanos pueden entender.
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