Medida de radón determinada por la intersección de medias líneas en el plano.

Question

Considere la posibilidad de un vector $r$ en el plano euclídeo $\mathbb R^2$ y dos vectores unitarios $u,v\in\mathbb U$ ($\mathbb U$ es el círculo unitario). Deje $s>0$ ser un número real. Estoy buscando una expresión de la siguiente distribución en $\mathbb R^2\times\mathbb R^+\times\mathbb U\times\mathbb U$ $$\mu(r,s,u,v)=\int_0^s \delta^{(2)}(r-tu+(s-t)v)\mathrm dt\tag1$$ donde $\delta^{(2)}$ es un 2-dimensional de Dirac de distribución, el cual es definido por $\delta^{(2)}((x,y))=\delta(x)\delta(y)$. Yo excluir los casos de $u=v$ e $u=-v$.

Esto es lo que he hecho hasta ahora. En él se detallan y por lo tanto bastante largo...

He considerado el siguiente problema : hay dos puntos de $A$ e $B$ desde donde iniciar la mitad de dos líneas con la unidad de vectores $u$ e $v$ (véase la siguiente figura) y tal que $\overrightarrow{AB}=r$.

La mitad de las líneas puede cruzar, pero bajo una condición que debe ser determinado. Un punto en la mitad de la línea de $(A,u)$ es de la forma $A+xu$ con $x\geq0$. Del mismo modo un punto en $(B,v)$ es de la forma $B+yv$, con $y\geq0$. La intersección está dada por la ecuación $A+xu=B+yv$, $$xu=r+yv\tag2.$$ Si escribimos (2)$r-xu+yv=0$, vemos que el problema (1) está relacionada con la intersección de la ecuación (2) con la condición adicional $x+y=s$.

Como los vectores $u$ e $v$ no colinear, es posible resolver (2) mediante la adopción de los productos escalares con tanto $u$ e $v$ : $$\left\{\begin{array}{ccccc} x&=&r\cdot u&+&y\,u\cdot v\\ x\,u\cdot v&=&r\cdot v&+&y \end{array}\right.$$ Tenemos $$x=\frac{r\cdot u(r\cdot v)(u\cdot v)}{1-(u\cdot v)^2}\qquad y=\frac{r\cdot v(r\cdot u)(u\cdot v)}{1-(u\cdot v)^2}.\tag3$$ y llegamos a la conclusión de que la mitad de las líneas se cruzan si $r\cdot u\geq(r\cdot v)(u\cdot v)$ e $r\cdot v\geq(r\cdot u)(u\cdot v)$. Si estas condiciones son no se cumple, la integral (1) se desvanece.

Suponiendo que se cumplen estas condiciones, podemos ver que tenemos que imponer $x+y=s$ que se puede simplificar en $$r\cdot u+r\cdot v-(1+u\cdot v)s=0.\tag4$$ Es interesante notar que las condiciones de $x\geq0$ e $y\geq0$ expresa con (3) y combinado con la condición (4) dar $s-r\cdot u\geq0$ e $s-r\cdot v\geq 0$. De ahí que yo no estoy tan seguro: he intentado escribir $\mu$ como $$\mu(r,s,u,v)=f(r,s,u,v)\delta\big(r\cdot u+r\cdot v-(1+u\cdot v)s\big)\Theta(s-r\cdot u)\Theta(s-r\cdot v)\tag5$$ donde $f$ es una función regular ($\Theta$ es la función escalón unitario). Que se han integrado esta expresión con respecto a $v$ y obtuvo $$\int\mu(r,s,u,v)\mathrm dv=2f(r,s,u,v_1)\frac{\Theta(s-|r|)}{\sqrt{r^2-(r\cdot u)^2}}$$ where $v_1$ is such that $(r-d)\cdot v_1=s-r\cdot u$.
También he integrado (1) con respecto a $v$ y consiguió $$\int\mu(r,s,u,v)\mathrm dv=\frac{\Theta(s-|r|)}{s-r\cdot u}.$$ Me pregunto si puedo deducir $f(r,s,u,v)$ a partir de estos cálculos. Puede cualquier persona (que pasó a través de todo esto) me dan un poco de pista ? Gracias.

Answer 1

Vamos $r = (x_1,x_2)$, $u=(u_1,u_2)$, $v=(v_1,v_2)$ ser los vectores una vez analizados en la base canónica del avión $\mathbb R^2$. Nos pusimos $u+v=w=(w_1,w_2)$ e $r+sv=y=(y_1,y_2)$.

$\mu(r,s,u,v)=\int_{0}^s \delta^{(2)}(r-tu+(s-t)v)dt=\int_{0}^s \delta^{(2)}(y-tw)dt$

$\mu(r,s,u,v)=\int_{0}^s \delta(y_1-tw_1) \delta(y_2-tw_2) dt$

$\mu(r,s,u,v)=\int_{0}^s \delta(y_1-tw_1) \delta(y_2-tw_2) dt$

Nos pusimos $t_1 = y_1/w_1$ e $t_2=y_2/w_2$

Usando la propiedad de Dirac medida $\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)$ y symetry $\delta(-x)=\delta(x)$.

$\mu(r,s,u,v)=\frac{1}{|w_1w_2|}\int_{0}^s \delta(t-t_1) \delta(t-t_2) dt$

Considere ahora una expresión de la distribución de dirac como el límite de, digamos, una familia de distribuciones de gauss ("funciones generales")

$\delta(x) =\lim_{\sigma\rightarrow 0+} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$

$\mu(r,s,u,v)=\frac{1}{|w_1w_2|}\lim_{\sigma_1\rightarrow 0+}\frac{1}{\sigma_1\sqrt{2\pi}} \lim_{\sigma_1\rightarrow 0+}\frac{1}{\sigma_1\sqrt{2\pi}} \int_{0}^s \exp{-\frac{(t-t_1)^2}{2\sigma_1^2}} \exp{-\frac{(t-t_2)^2}{2\sigma_2^2}} dt$

$\mu(r,s,u,v)=\frac{1}{|w_1w_2|}\lim_{\sigma_1\rightarrow 0+}\frac{1}{\sigma_2\sqrt{2\pi}} \lim_{\sigma_1\rightarrow 0+}\frac{1}{\sigma_1\sqrt{2\pi}} \int_{0}^s \exp{-[\frac{(t-t_1)^2}{2\sigma_1^2}}+\frac{(t-t_2)^2}{2\sigma_2^2}] dt$

A partir de ahora vamos a utilizar sólo una "pequeña parámetro" $\sigma=\sigma_1=\sigma_2$

$\mu(r,s,u,v)=\frac{1}{|w_1w_2|}\lim_{\sigma\rightarrow 0+}\frac{1}{\sigma^22\pi}\int_{0}^s \exp{-[\frac{(t-t_1)^2+(t-t_2)^2}{2\sigma^2}]} dt$

La integral tiene primitivo,

$-\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\sigma\exp{-\frac{(t_1-t_2)^2}{4 \sigma^2}}[\mathrm{erf}(\frac{t_1+t_2-2t}{2\sigma})]_0^s$

Por lo tanto,

$\mu(r,s,u,v)=\frac{1}{|w_1w_2|}\lim_{\sigma\rightarrow 0+}\frac{\sqrt 2}{4}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp{-\frac{(\frac{t_1-t_2}{\sqrt2})^2}{2 \sigma^2}}[\mathrm{erf}(\frac{t_1+t_2-2t}{2\sigma})]_s^0=\frac{1}{|w_1w_2|}\delta(t_1-t_2) \lim_{\sigma\rightarrow 0+}\frac{1}{2}[\mathrm{erf}(\frac{t_1+t_2-2t}{2\sigma})]_s^0 $

Ahora podemos discutir el límite de la función de error en la primitiva.

• $t_1+t_2\neq 0\ \wedge\ t_1+t_2-2s\neq 0$ entonces $\lim_{\sigma\rightarrow 0+}[\mathrm{erf}(\frac{t_1+t_2-2t}{2\sigma})]_s^0 = 1 - 1 = 0$

A continuación,$\mu(r,s,u,v)=0$.

• $t_1+t_2 =0\ \wedge\ t_1+t_2-2s\neq 0$ entonces $\lim_{\sigma\rightarrow 0+}[\mathrm{erf}(\frac{t_1+t_2-2t}{2\sigma})]_s^0 = 0-1=-1$

A continuación,$\mu(r,s,u,v)=-\frac{1}{2|w_1w_2|}\delta(t_1-t_2)$.

• $t_1+t_2 \neq 0\ \wedge\ t_1+t_2-2s= 0$ entonces $\lim_{\sigma\rightarrow 0+}[\mathrm{erf}(\frac{t_1+t_2-2t}{2\sigma})]_s^0 = 1-0= 1$

A continuación,$\mu(r,s,u,v)=\frac{1}{2|w_1w_2|}\delta(t_1-t_2)$.

• $t_1+t_2 = 0\ \wedge\ t_1+t_2-2s= 0$ entonces $\lim_{\sigma\rightarrow 0+}[\mathrm{erf}(\frac{t_1+t_2-2t}{2\sigma})]_s^0 = 0-0= 0$

A continuación,$\mu(r,s,u,v)=0$.

Puede hacer una copia de sustitutos, a continuación,$t_1,t_2$, $w_1$, $w_2$ en las soluciones.

Espero que esto ayude.