Notación de álgebra lineal

Question

Esta es una pregunta de aclaración: si$S$ y$T$ son subespacios de un espacio vectorial$V$, ¿es$S+T$ equivalente a$S\cup T$? Gracias.

Answer 1

No; por ejemplo, si $V=\mathbb{R}^2$ es el plano, y $S=\{(a,0)\in V\mid a\in\mathbb{R}\}$ e $T=\{(0,b)\in V\mid b\in\mathbb{R}\}$ son $x$-eje y $y$-eje (que son subespacios de $V$), respectivamente, entonces $$S+T=\{(a,0)+(0,b)\in V\mid a,b\in\mathbb{R}\}=\{(a,b)\in V\mid a,b\in \mathbb{R}\}=V$$ es decir, $S+T$ es todo el plano, pero $$S\cup T=\{(a,0)\in V\mid a\in\mathbb{R}\}\cup\{(0,b)\in V\mid b\in \mathbb{R}\}=\{(a,b)\in V\mid \text{ either }a=0\text{ or }b=0\}$$ es sólo la unión de las $x$-eje y $y$-eje, que no es ni siquiera un subespacio de $V$ (por ejemplo, no es cerrado bajo la suma: $(1,0)\in S\cup T$ e $(0,1)\in S\cup T$, pero $(1,1)\notin S\cup T$).

Sin embargo, $S+T$ es el subespacio generado por $S\cup T$, es decir,$S+T=\text{span}(S\cup T)$.

Answer 2

no, $S+T=\{ s+t \colon s \in S, t \in T\}$, $S \cup T = \{ u \colon u \in S \vee u \in T\}$.

P.ej. deje$A$,$B$ subconjuntos no vacíos de espacio lineal$X$, luego$\mbox{Lin}(A \cup B) = \mbox{Lin}(A) + \mbox{Lin}(B)$, pero$\mbox{Lin}(A +B) \subset \mbox{Lin}(A) + \mbox{Lin}(B)$. Tomar $A=\{(1,0)\}$.

Answer 3

Si por equivalente te refieres a igual , entonces la unión de dos subespacios es un subespacio si y solo si uno de los subespacios está contenido en el otro. Si por equivalente quiere decir que generan el mismo subespacio, entonces sí,$S+T = \langle S , T \rangle = \langle S \cup T \rangle$.