Subcampo fijo de conjugación compleja.

Question

Supongamos que $L \subseteq \mathbb{C}$ es la división de campo de un polinomio $f \in \mathbb{Q}[x]$, y supongamos que $f$ no tiene raíces reales. A continuación, el complejo de la conjugación (vamos a llamar a $\sigma$) es no trivial elemento de $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$.

El fijo subcampo de $\langle\sigma\rangle$ es $L \cap \mathbb{R}$. Pero es de todos modos podemos expresar esto en términos de las raíces de la $f$? Pregunto esto porque me di cuenta de, por ejemplo, que para las elecciones de $f$ he considerado, este fijo subcampo es simplemente el campo obtenidos por contigua a la parte real de cada raíz de $f$ a $\mathbb{Q}$. Yo no puedo probar ni refutar esto. En el caso de que esto es falso, ¿hay alguna otra manera podemos expresar esta fijo subcampo en términos de las raíces de la $f$ (por ejemplo, más lindan con productos de complejo conjugado raíces de $f$, etc)?

Answer 1

Esto no es siempre cierto, pero podemos demostrar que no está lejos. Considere la posibilidad de $f(X) = (X^2+1)(X^2+2)$. A continuación, la división de campo de la es $\mathbb{Q}(i,i\sqrt{2})$, pero lindando con las partes reales de cada raíz (es decir,$0$) no da el campo fijo de $\sigma$. En realidad, lo que tenemos es la siguiente: supongamos $L$ es la división de campo de $f$, con raíces $\alpha_1\pm i\beta_1,\dots,\alpha_n\pm i\beta_n$. A continuación, el campo fijo de complejo de conjugación es:

$$\mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\{\beta_j\beta_k\}_{1\leq j,k\leq n}).$$

Se puede describir el campo fijo de $\sigma$ de manera abstracta como la única real subcampo $K$ tal que $[L:K] = 2$, y este siempre contendrá $K'=\mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\subset \mathbb{R}$. Pero desde $i\beta_j$ se encuentra en $L$ por cada $j$, $K$ también contiene $\beta_j\beta_k$ cualquier $j,k$ es decir $K$ contiene $K''=K'(\{\beta_j\beta_k\}_{1\leq j,k\leq n})\subset\mathbb{R}$. Vamos a demostrar que, de hecho,$K'' = K$.

Ya tenemos: $$\frac{-\beta_j\beta_k}{i\beta_j}= i\beta_k, $$ para cualquier $j$ con $\beta_j \not = 0$, $L = K''(i\beta_j)$. Pero, ya que para cualquier no-cero $j, \beta_j^2 \in K''$, y por lo $X^2+\beta_j^2\in K''[X]$. Por lo tanto $i\beta_j$ grado $2$ sobre $K''$, lo $[L:K''] = 2$, lo $K=K''$.