Encontrar los máximos comunes divisores

Question

Me dan el siguiente ejercicio:

• Si $p$ es un primo y $(a,b)=p$ Calcula $(a^2,b^2), (a^2,b)$

Eso es lo que he intentado:

• Ambos $a$ y $b$ contienen $p$ y al menos uno de ellos contiene $p$ con el exponente $1$ . Las dos formas canónicas de $a$ y $b$ no tienen otro primo común.

  Por lo tanto, puede ser

  1. $a=p \cdot p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k} \text{ and } b=p^{d} \cdot q_1^{d_1} \cdot q_2^{d_2} \cdots q_m^{a_m}$

  2. $a=p^{a_0} \cdot p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k} \text{ and } b=p \cdot q_1^{b_1} \cdots q_m^{b_m}$

donde $p_i \neq q_j \forall i,j$

Así que:

1. $(a^2,b^2)=p^{\min\{2,2d \}}=p^2$

2. $(a^2,b^2)=p^{\min \{ 2,2a_0\}}=p^2$

   1. $(a^2,b)=\left\{\begin{matrix} p,d=1\\ p^2,d \geq 2 \end{matrix}\right. $

   2. $(a^2,b)=p$

   ¿Podría decirme si es correcto?

Answer 1

Sí, $(a^2,b^2)=p^2$ que se obtiene contando potencias de $p$ en $a^2$ y $b^2$ .

Para $(a^2,b)$ hay dos respuestas: $$ (a^2,b)=p^2,\, \mathrm{ for\, example,\, } a=p,\ b=p^2, $$ $$ (a^2,b)=p,\, \mathrm{ for\, example,\, } a=p,\ b=p. $$

No hay más casos, porque $(a^2,b)|(a^2,b^2)$ y $(a,b)|(a^2,b)$ . Por lo tanto, $(a^2,b)$ es $p$ o $p^2$ .

Answer 2

Su respuesta es correcta. Puede resultar instructivo compararla con este método más general.

Nota $\ \ (A,B) = p\iff A,B = pa,pb,\ (a,b) = 1.$

Así, $\,(A^2,B) = (p^2 a^2,pb) = p(p\color{#0a0}{a^2,b}) = p\color{#c00}{(p,b)},\ $ por $\,(a,b)=1\,\Rightarrow\,\color{#0a0}{(a^2,b)=1}\,$ por el lema de Euclides.

Así que $\,\ (A^2,B^2) = (p^2a^2,p^2b^2) = p^2(a^2,b^2) = p^2,\ $ por $\,\color{#0a0}{(a^2,b)=1}\,\Rightarrow\,(a^2,b^2)=1\,$ por el lema de Euclides.

Nota: $\ $ Observe que el método anterior elimina el análisis de casos, reduciéndolo a $\, \color{#c00}{(p,b)} = p\,$ o $\,1\,$ si $\,p\,$ es primo. Pero la prueba anterior funciona para cualquier $\,p.$ De hecho, la prueba anterior funciona de forma más general en cualquier dominio gcd, es decir, cualquier dominio en el que existan gcds. Esto es más general que utilizar la existencia y singularidad de factorizaciones primos, ya que algunos dominios gcd no tienen ningún primo, por ejemplo el anillo de todos los enteros algebraicos, donde $\,\alpha \,=\, \sqrt \alpha\sqrt \alpha,\,$ por lo que no hay irreducibles, por lo que no hay primos.