Cómo probar esta desigualdad$\pi<\frac{\sin{(\pi x)}}{x(1-x)}\le 4$

Question

deja que$x\in (0,1)$ muestre que

PS

Creo que sabemos que$$\pi<\dfrac{\sin{(\pi x)}}{x(1-x)}\le 4$ $ y$$\sin{x}<x$ $

Pero no es útil para este problema.

Answer 1

También puede traducir la variable y probar que$$ \frac{\pi}{4} \leq \frac{\cos(\pi x)}{1-4x^2} \leq 1 $ $ para cualquier$x\in [0,1/2]$, ya que el término medio es una función par. Ahora, dado que el producto Weiestrass de la función coseno nos da:$$ \cos(\pi x) = \prod_{n=0}^{+\infty}\left(1-\frac{4x^2}{(2n+1)^2}\right), $ $ tenemos que el término medio es:$$ f(x)=\frac{\cos(\pi x)}{1-4x^2} = \prod_{n=1}^{+\infty}\left(1-\frac{4x^2}{(2n+1)^2}\right),$ $ un producto infinito de funciones decrecientes sobre$[0,1/2]$, por lo tanto una función decreciente , dándonos:$$\frac{\pi}{4}=\lim_{x\to 1/2} f(x)\leq f(x)\leq f(0)=1.$ $

Answer 2

$f(x)=\dfrac{\sin{\pi x}}{x(1-x)}$

nota:$f(x)=f(1-x) \implies f(x) $ son simetría$x=\dfrac{1}{2}$ cuando$x \in (0,1)$

Ahora probamos que$ f(x) $ será función de aumento mono cuando$x \in (0,\dfrac{1}{2}]$

$f'(x)= \dfrac{{\pi {x(1-x)}\cos(\pi x)-(1-2x)\sin(\pi x)}}{x^2(1-x)^2}$

$g(x)= \pi x(1-x)\cos(\pi x)-(1-2x)\sin(\pi x) $

$g'(x)=(2 - \pi^2 x(1- x) ) \sin(\pi x)=0$

$sin (\pi x)=0,x_{1}=0$,

$2 - \pi^2 x(1- x)=0, x_2=\dfrac{\pi - \sqrt{\pi^2-8} }{2 \pi}$

verificar$g(0)=0 ,g(x_2)>0 \quad \text{(max point of} \ g(x))$

comprobar límite$g(\dfrac{1}{2})=0 \implies g(x)\ge 0 \implies f'(x) >0$ $ f_ {max} = f (\ dfrac {1} {2}) = 4, f_ {min} = f (0 ^ +) = \ displaystyle {\ lim_ {x \ a 0+ }} f (x) = \ pi $

QED.

Answer 3

Vamos $$y=\frac{\sin{(\pi x)}}{x(1-x)}$$ entonces $$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{{\pi {x(1-x)}\cos(\pi x)-(1-2x)\sin(\pi x)}}{x^2(x-x^2)}$$ Para el máximo y mínimo de los valores que necesitamos saber x que hacen $${{\pi {x(1-x)}\cos(\pi x)-(1-2x)\sin(\pi x)}}=0$$ Si$\quad$ $x=\frac{1}{2}$, podemos encontrar fácilmente $\dfrac{dy}{dx}=0$

Si$\quad$ $x\not=\frac{1}{2}$, $$x(1-x)\pi \cos(\pi x)=(1-2x)\sin{\pi x}$$ así $$x^2(1-x)^2\pi^2 \cos^2(\pi x)=(1-2x)^2\sin^2{\pi x}$$ así $${\dfrac{\pi^2 x^2(1-x)^2}{(1-2x)^2}}\cos^2(\pi x)=\sin^2{\pi x}=1-\cos^2(\pi x)$$ así $${\cos^2(\pi x)}{\biggl[1+\dfrac{\pi^2 x^2(1-x)^2}{(1-2x)^2}\biggr]}=1$$

Si ponemos $$g={\cos^2(\pi x)}{\biggl[1+\dfrac{\pi^2 x^2(1-x)^2}{(1-2x)^2}\biggr]-1}$$ entonces $$g \gt0, \quad 0\lt x\lt \frac{1}{2}$$ $$g \lt0, \quad \frac {1}{2}\lt x\lt 1$$ $$g =0, \quad if\ x =0\ or\ 1$$ Porque x $\in$ (0,1) sólo x=$\frac12$ hará $\dfrac{dy}{dx}=0$

y $$\dfrac{dy}{dx} \gt 0 \quad if \quad 0\lt x \lt \frac12$$ $$\dfrac{dy}{dx} \lt 0 \quad if \quad \frac12 \lt x \lt 1$$

debido a que el denominador de $\dfrac{dy}{dx}$ $$x^2(x-x^2) \gt 0 \quad when \quad x\in (0,1)$$

por lo tanto, tiene su máximo en y($\frac12$)=4

y se aproxima a su valor mínimo cuando x se aproxima a 0 o 1 $$ \lim_{x \to 0}y=\lim_{x \to 1}y = \pi $$

Por lo tanto, $$\pi \lt \frac{\sin{(\pi x)}}{x(1-x)} \le 4$$

Answer 4

Cuando$0<x<1$ uno tiene$${\sin(\pi x)\over x(1-x)}=4\int_0^{\pi/2}\cos t\ \cos(\sigma\>t\bigr)\ dt,$$ where $ \ sigma: = | 2x-1 | $.

Al inspeccionar el lado derecho, uno ve inmediatamente que es una función decreciente de$\sigma\in[0,1]$. Por lo tanto, es máximo$(=4)$ cuando$\sigma=0$, es decir,$x={1\over2}$, y mínimo$(=\pi)$ cuando$\sigma=1$, es decir, en el límite$x\to0$ o$x\to1$.

Answer 5

Sugerencia : deje que$x={1+u\over2}$ con$-1\le u\le1$.