Si$p$ es un entero primo, demuestre que$p$ es un divisor de$\binom p i$ para$0 < i < p$

Question

Estaba pensando en usar la definición para combinaciones y usar el hecho de que$p$ aparece en la expansión de$\binom pi$ y por lo tanto$p$ es un divisor. ¡No sé si estoy en el camino correcto!

Answer 1

Tenemos$$\binom{p}{i} = \dfrac{p!}{i!(p-i)!} = \dfrac{p(p-1)\cdots(p-i+1)}{i!}$ $

Ahora note que$i!\binom{p}{i} = p(p-1)\cdots(p-i+1) \implies p|i! $ o$p|\binom{p}{i}$.
Pero$p|i!$ no es posible para$0\lt i\lt p$. Eso significa $p|\binom{p}{i}$.

Answer 2

Propongo un diferente combinatoric prueba. Fix $n \in \{1,\ldots,p-1\}$.

Deje $1\le x_1<\ldots<x_n\le p$ ser un número entero, y el aviso de que tienen diferentes restos cuando se divide por $p$. Obviamente también $$x_1+k,x_2+k,\ldots,x_n+k$$ tienen diferentes restos cuando se divide por $p$, para cada entero $k \in \{0,1,\ldots, p-1\}$. Además, todos los restos se "desplazan juntos", lo que significa que si ponemos $k=p$ obtenemos el conjunto original de residuos.

Por lo tanto, estamos estableciendo una relación entre los subconjuntos de $n$ elementos $\{1,2,\ldots,p\}$ que es reflexiva, simétrica y transitiva: es una relación de equivalencia.

Vamos a considerar una clase de equivalencia ahora: se realiza por exactamente $p$ elementos. Esto implica que el número total de subconjuntos, que es $\binom{p}{n}$, tiene que ser un múltiplo de $p$.

Answer 3

Primero vamos a dar una prueba directa, a continuación, vamos a explicar cómo ver la prueba en el denominador de la orden del lenguaje, es decir, que una fracción se puede escribir con comprime denominadores iff es un entero.

$\ \displaystyle {p \choose i}\ =\, \color{#0a0}{\dfrac{p!}{(p\!-\!i)!}}\dfrac{1}{i!}\, =\, \dfrac{\color{#0a0}{p(p\!-\!1)\cdots (p\!-\!i\!+\!1)}}{i\, (i\!-\!1)\cdots 2\cdot 1}\, =\, \dfrac{pa}b\in \Bbb Z.\ $

Por Euclides del Lexema $\ \ \ \color{#c00}{p\nmid b}\ $ e $\ \color{#c00}{p\mid b}\left(\dfrac{pa}{b}\right) \Rightarrow\ \displaystyle p\ {\large \mid}\ \dfrac{pa}b $

En este caso tenemos $\ p\nmid b = b_i\cdots b_2 b_1\,$ más, por el $\,p\,$ prime, $\,p\mid b_i\,$ para algunos $\,i,\,$ contra $\, 0 < b_i < p$

Comentario $\ $ Nota: $\,\dfrac{pa}{b} = c\in\Bbb Z\,\Rightarrow\, \dfrac{a}b = \dfrac{c}p\,$ es una fracción se puede escribir con coprime denominadores. Por lo tanto, por el Lema de abajo, $\,a/b = \color{#b0f}{c/p\in \Bbb Z},\,$ por lo tanto $\,\color{#b0f}{p\mid c} = pa/b,\,$ como se reivindica.

Lema $\ $ Una fracción puede ser escrito con coprime denominadores iff es un entero.

Prueba de $\ $ Si $\, q = a/b = c/d\,$ para coprime $\,b,d\,$ entonces $\, \color{#c00}{jb\!+\!kd = 1}\,$ para $\,j,k\in\Bbb Z\,$ por Bezout, por lo que

$$ bq,dq\in\Bbb Z\,\Rightarrow\, j(bq)+k(dq) = (\color{#c00}{jb\!+\!kd})q = q\in \Bbb Z\qquad\qquad\qquad$$

El Lema es simplemente un denominador formulario de la siguiente omnipresente grupo de teoría teorema:

Si $\,q^b\! = 1 = q^d$ para coprime $\,b,d\,$ entonces $\,q = 1,\ $ por $\ n={\rm ord}(q)\,$ divide coprime $\,b,d\,$ lo $\,n = 1.\,$

El mínimo denominador de una fracción es su orden en $\,\Bbb Q/\Bbb Z,\,$ por lo que el de arriba es un caso especial de este resultado. Para más información sobre este punto de vista vemos diferentes puestos en el denominador ideales y el fin de los ideales.

Answer 4

Sugerencia: recuerde la definición$\binom{p}{i}=\frac{p!}{i!(p-i)!}$ y tenga en cuenta que$p$ divide el numerador, pero no el denominador.

Answer 5

Insinuación:-

$\gcd(p,i)=\gcd(p,p-i)=1$ para todos $0<i<p$.