Mostrar determinante de la matriz es distinto de cero

Question

He a $a,b,c\in\mathbb{Q}$ no todos cero. ($a^2+b^2+c^2\ne 0$), Quiero mostrar que el siguiente determinante es entonces distinto de cero. No he logrado llegar a una forma apropiada del polinomio. Ayuda por favor. $$\left|\begin{bmatrix} a & 2c & 2b\\b & a & 2c\\ c & b & a\end{bmatrix}\right| = a^3+2 b^3-6 a b c+4 c^3$$

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Segunda pregunta, ¿cuál es la manera más fácil de argumentar que el $\{1,\sqrt[3]{2},(\sqrt[3]{2})^2\}$ es linealmente independiente en $\mathbb{Q}$?

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Motivación:
Demostrar que $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}] = \{a+b\sqrt[3]{2}+c(\sqrt[3]{2})^2\;|\;a,b,c\in\mathbb{Q}\}$ formas de un campo.

Prueba: Desde $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}] \subset \mathbb{R}$, demostramos $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$ es un subcampo de la $(\mathbb{R},+,\cdot)$

$\forall (a+b\sqrt[3]{2}+c(\sqrt[3]{2})^2)\in \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]\backslash\{0\}.$ Queremos encontrar a $(a+b\sqrt[3]{2}+c(\sqrt[3]{2})^2)$ tal que

$(a+b\sqrt[3]{2}+c(\sqrt[3]{2})^2)(d+e\sqrt[3]{2}+f(\sqrt[3]{2})^2) =$
$ (ad+2ec+2bf)+(ae+bd+2cf)\sqrt[3]{2}+(af+cd+be)(\sqrt[3]{2})^2 = 1$

Desde $\{1,\sqrt[3]{2},(\sqrt[3]{2})^2\}$ es linealmente independiente (?) más de $\mathbb{Q}$, nos muestran que no hay solución única para:
$$\begin{bmatrix} a & 2c & 2b\\b & a & 2c\\ c & b & a\end{bmatrix} \cdot \left[\begin{array}{l l} d\\e\\f \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l l} 1\\0\\0 \end{array}\right] $$ Cual es el equivalente en mostrar el determinante es distinto de cero $$\left|\begin{bmatrix} a & 2c & 2b\\b & a & 2c\\ c & b & a\end{bmatrix}\right| = a^3+2 b^3-6 a b c+4 c^3=(?)$$

Por subcampo de la prueba, 1)2)3)4) es suficiente para decir que $(\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}],+,\cdot)$ es un subcampo de la $(\mathbb{R},+,\cdot)$ por lo tanto un campo.

EDIT: Si usted tiene el camino más corto que demostrar la proposición sin tocar mis 2 preguntas, que es incluso mejor.

Answer 1

Editado de acuerdo con el comentario de Marc van Leeuwen:

Supongamos que $$a+b\root3\of2+c(\root3\of2)^2=0$$ with $a,b,c$ rational. Then $\root3\of2$ is a root of the polynomial $$f(x)=a+bx+cx^2$$ Now, $\root3\of2$ is also a root of $$g(x)=x^3-2$$ So $\root3\of2$ is a root of the gcd of $f$ and $g$. But $g$ is irreducible over the rationals, and $f$ has degree smaller than $g$ has, so $f$ is identically zero or the gcd is a nonzero constant. It isn't a nonzero constant, since it has to vanish at $\root3\of2$, so $f$ is the zero polynomial, so $$a=b=c=0$$ so $$\{{\,1,\root3\of2,(\root3\of2)^2\,\}}$$ es un conjunto linealmente independiente sobre los racionales.

Answer 2

Desde $a,\ b$ $c$ son racionales, podemos clara denominadores en $$a^3 + 2b^3 -6abc +4c^3 = 0$$ The above equation is a homogenous equation of degree $3$ so we may cancel common factors. If there exists non-trivial solutions to the equation, we may therefore assume without loss of generality that $a,\ b$ and $c$ are integers with $\gcd(a,\ b\ c)=1$.

La reducción de modulo $2$, nos encontramos con que $a\equiv 0\pmod 2$. Deje $a=2\alpha$. Haciendo la sustitución y cancelación de los factores comunes, llegamos a $$4\alpha^3 +b^3 - 6\alpha bc + 2c^3 = 0$$ La reducción de mod $2$ nuevo, obtenemos $b\equiv 0\pmod2$. Así que vamos a $b=2\beta$ obtener $$2\alpha^3 + 4\beta^3 - 6\alpha\beta c + c^3 = 0$$ La reducción de modulo $2$ última vez da $c\equiv 0\pmod 2$. Esto contradice el hecho de que $\gcd(a,\ b,\ c)=1$. Por lo tanto, no hay no-trivial entero de soluciones de la ecuación anterior. De ello se deduce que el factor determinante es distinto de cero desde $a,\ b$ $c$ no son todos cero.

Para mostrar la independencia lineal de $\left\{1,\ \sqrt[3]{2},\ \left(\sqrt[3]{2}\right)^2\right\}$$\mathbb{Q}$, supongo que para que, al contrario, allí existe algunos no trivial racional combinación lineal tal que $$r_0 + r_1\sqrt[3]{2} + r_2\left(\sqrt[3]{2}\right)^2 = 0$$ Luego de compensación denominadores, existe un no-trivial integral combinación lineal de las anteriores en $0$. Específicamente, existe una integral polinomio $p(x)$ grado $2$ tal que $\sqrt[3]{2}$ es una raíz. Pero el polinomio mínimo de a$\sqrt[3]{2}$$x^3 - 2$. Esta es una contradicción.

Answer 3

Deje $r=\root3\of2$. El otro ms responden han demostrado que $1,r,r^2$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$. La ue Yu la respuesta tiene también muy bien demostrado que el factor determinante en cuestión es distinto de cero. No tengo una respuesta mejor que la suya. Sin embargo, ya que la pregunta es, después de todo, uno sobre el factor determinante, no puedo resistir la tentación de resolver en (disfraz) de una matriz teórica.

Deje $\omega$ ser una primitiva raíz cúbica de la unidad. Entonces su matriz es $\mathbb{C}$-similar a la $$ A=\begin{pmatrix} a &r^2\omega ^2c &r\omega b\\ r\omega b &a &r^2\omega ^2c\\ r^2\omega ^2c &r\omega b &a \end{pmatrix}. $$ Este es un circulantes de la matriz. Por lo tanto, sus valores propios son (ver wikipedia): $$ \begin{cases} \lambda_1 = a+r^2\omega^2c+r\omega b &= a+r^2\omega^2c+r\omega b,\\ \lambda_2 = a+r^2\omega^2c\,\omega +r\omega b\,\omega^2 &= a+r^2c+rb,\\ \lambda_3 = a+r^2\omega^2 c\,\omega^2 +r\omega b\,\omega &= a+r^2\omega c+r\omega^2 b. \end{casos} $$ Tenga en cuenta que $\lambda_2\neq0$ porque $1,r,r^2$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$. De ello se sigue que si tanto $\lambda_1$ $\lambda_3$ tienen distinto de cero imaginaria, $\det A\neq0$. Sin embargo, si uno de ellos es real, mediante la inspección de su parte imaginaria, obtenemos $b=rc$. Por lo $b=c=0$ $\det A=a^3$ todavía es distinto de cero.

Answer 4

No estoy seguro de que es la mejor manera de demostrar que $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}] = \{a+b\sqrt[3]{2}+c(\sqrt[3]{2})^2\;|\;a,b,c\in\mathbb{Q}\}$ es un campo.

Yo diría en cambio que si $a+b\sqrt[3]{2}+c(\sqrt[3]{2})^2 \ne 0$, entonces el polinomio $f(x) = a+bx+c x^2$ es coprimo a $x^{3} - 2$, así que hay polinomios $u(x), v(x)$, que $$ 1 = u(x) f (x) + (x ^ {3} - 2) v(x), $$ para que evaluar $x = \sqrt[3]{2}$, $$ 1 = f(\sqrt[3]{2}) u(\sqrt[3]{2}) = (a+b\sqrt[3]{2}+c(\sqrt[3]{2})^2) \cdot u(\sqrt[3]{2}), $$ y $u(\sqrt[3]{2}) \in \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$ es la inversa requiere.

Answer 5

Sólo por la independencia lineal de la parte más $\Bbb Q$. Supongo que sabe que $\alpha=\sqrt[3]2$, que es, por definición, el (positivo) verdadera raíz de la $X^3-2$, es irracional. Pero, a continuación, $X^3-2$ no tiene raíces racionales, y (siendo de grado $3$) es irreducible sobre $\Bbb Q$, lo que significa que es el polinomio mínimo de más de $\Bbb Q$ de cualquiera de sus (complejo) de las raíces, desde un mínimo polinomio tiene para dividir a $X^3-2$. En particular, el polinomio mínimo de a $\alpha$ tiene el grado $3$, lo que implica que $1,\alpha,\alpha^2$ $\Bbb Q$- linealmente independientes.