Desigualdad:$(t_1+t_n)^2\Bigg(\sum_{k=1}^n t_k\Bigg)^2 \geq 4nt_1t_n \Bigg(\sum_{k=1}^n t_k^2\Bigg)$ para$t_1 \leq t_2 \leq \ldots \leq t_n$

Question

Yo conjeturo (y he mostrado para$n\leq 3$) lo siguiente: si$t_1 \leq t_2 \leq \ldots \leq t_n$ son números no negativos, entonces

$$ (t_1 + t_n) ^ 2 \ Bigg (\ sum_ {k = 1} ^ n t_k \ Bigg) ^ 2 \ geq 4nt_1t_n \ Bigg (\ sum_ {k = 1} ^ n t_k ^ 2 \ Bigg) $$

¿Alguna idea sobre cómo probar esta conjetura o encontrar un contraejemplo?

Mi progreso hasta ahora: para$n=3$, denota por$D$ la diferencia entre el LHS y el RHS. Entonces,$(t_3-t_1)^2D$ puede escribirse como

$$ \begin{array}{l} \Bigg(2t_1(t_2^2-t_2t_3+t_3^2)-t_2(t_1^2+t_3^2)-(t_3-t_1)^3\Bigg)^2\\ +4t_1(t_3-t_2)(t_2-t_1)\Bigg((t_3-t_2)(t_3^2-t_1t_2)+(t_3-t_1)(t_3^2-t_1^2)\Bigg) \end {array} $$

Answer 1

De la desigualdad de Pólya-Szegö, tenemos para$0 < m_1 \leqslant u_k \leqslant M_1$ y$0 < m_2 \leqslant v_k \leqslant M_2$,$$\left(\sum u_k^2 \right) \left( \sum v_k^2 \right) \leqslant \frac14 \left( \sqrt{\frac{M_1 M_2}{m_1m_2}} + \sqrt{\frac{m_1 m_2}{M_1 M_2}} \right)^2 \left( \sum u_k v_k\right)^2$ $

Tomando$u_k = t_k$ y$v_k = 1$, con un poco de simplificación, tenemos su desigualdad.