Crecimiento asintótico de$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^\alpha}$?

Question

Dejar $0 < \alpha < 1$. ¿Alguien puede explicar por qué$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^\alpha} \sim n^{1-\alpha}$ $ tiene?

Answer 1

Tenemos para$x\in [k,k+1)$ que$$(k+1)^{-\alpha}\leq x^{-\alpha}\leq k^{-\alpha},$ $ e integrando esto obtenemos$$(k+1)^{-\alpha}\leq \frac 1{1-\alpha}((k+1)^{1-\alpha}-k^{\alpha})\leq k^{-\alpha}.$ $. Obtenemos después de sumar y haber usado$(n+1)^{1-\alpha}-1\sim n^{1-\alpha}$, el equivalente$\frac{n^{1-\alpha}}{1-\alpha}$.

Answer 2

Comparar con la integral$$\int_1^n \frac{dx}{x^\alpha}.$ $