Mostrar que $e^x$ es Riemann Integrable a partir de la definición y luego evaluar $ \int_{0}^{2} e^x dx $

Question

Mi intento:

Una función es Riemann integrable si $\overline{S}_f(\mathcal{D}_n)- \underline{S}_f(\mathcal{D}_n)< \epsilon , \space \forall\epsilon>0.$

Sea $\epsilon>0$. Luego sea $\mathcal{D}_n =\{0<\frac{1}{n}<\frac{2}{n}< \dots < \frac{2n-1}{n}<2 \}$ una descomposición.

$$ \begin{split} \overline{S}_f(\mathcal{D}_n) - \underline{S}_f(\mathcal{D}_n) &= \sum_{i=1}^{2n} \frac{e^{i/n}}{n} - \sum_{i=1}^{2n}\frac{e^{(i-1)/n}}{n} \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} e^{i/n}(1-e^{-1/n}) \\ &= \frac{1-e^{-1/n}}{n} \sum_{i=1}^{2n} e^{i/n} \\ &= \frac{1-e^{-1/n}}{n} \sum_{i=1}^{2n}\left(e^{1/n}\right)^i \end{split} $$

Esto parece una serie geométrica, $\sum_{i=1}^{k}x^i = \frac{x(1-x^k)}{1-x}$ así que tomando $x=e^{1/n}$ y $k=2n$ obtenemos,

$$ \frac{1-e^{-1/n}}{n} \frac{e^{1/n}(1-e^{2n/n})}{1-e^{1/n}} = \frac{-(1-e^{1/n})}{n} \frac{1-e^{2n/n}}{1-e^{1/n}} = \frac{e^2 -1}{n} \to 0 \text{ a medida que } n \to \infty $$

Por lo tanto, $e^x$ es integrable, así que para calcular la integral calculamos la suma superior.

$$ \begin{split} \overline{S}_f(\mathcal{D_n}) &= \sum_{i=1}^{2n} \frac{1}{n} e^{i/n} \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} e^{i/n} \\ &= \frac{e^{1/n}}{n} \sum_{i=1}^{2n} e^i \\ &= \frac{e^{1/n}}{n} \frac{e(1-e^{2n})}{1-e} \end{split} $$

Luego de aquí estoy perdido, ¡cualquier ayuda sería apreciada. ¡Gracias!

Answer 1

Es mejor tomar $$\mathcal{D}_n=\{0,\frac 2n,\frac 4n,...,2\}.$$

$$\int_0^2e^xdx=\lim_{n\to +\infty}S_n$$ con

$$S_n=\frac{2-0}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{0+k\frac{2-0}{n}}$$

$$=\frac 2n\sum_{k=0}^{n-1}(e^{\frac 2n})^k$$

$$=\frac 2n\frac{1-e^2}{1-e^{\frac 2n}}$$ Ahora observa que

$$\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac 2n}{1-e^{\frac 2n}}=-1$$

y termina.

Answer 2

Pista

Creo que tu evaluación de la última serie es incorrecta: $$ \begin{split} \overline{S}_f(\mathcal{D_n}) &= \sum_{i=1}^{2n} \frac{1}{n} e^{i/n} \\ &= \frac{e^{1/n}}{n} \sum_{i=0}^{2n-1} (e^{1/n})^i \\ &= \frac{e^{1/n}}{n} \frac{1-\left(e^{1/n}\right)^{2n}}{1-e^{1/n}}\\ &= \frac{e^{1/n}}{1-e^{1/n}} \times \frac{1-e^2}{n} \\ &= \left(1-e^2\right) e^{1/n} \frac{1/n}{1-e^{1/n}} \end{split} $$ y calcular los límites de $e^{1/n}$ y la fracción por separado...