Derivado de la integral (en la transformada de Fourier)

Question

He tomado algunos análisis, pero de alguna manera las transformadas de Fourier nunca fueron llevados hasta que se supone que conoce. La diversión. De todos modos, en un ejemplo de la clase (mostrando la integral de una Gaussiana es de nuevo una Gaussiana), el profesor hizo el siguiente paso, que me confunde. Por nuestra definición tenemos $$\hat{f}(\gamma):=\int f(t)e^{-2\pi i t\gamma}dt$$ desde que llegamos a la conclusión de $$(\hat{f})'(\gamma)=-2\pi i \int t f(t) e^{-2\pi i t\gamma}dt$$

parece que él estaba usando un "teorema", que si $f(\gamma)=\int g(\gamma,t)dt$ entonces $f'(\gamma)=\int (\dfrac{d}{d\gamma} g(\gamma,t))dt$, pero no estoy al tanto de cualquier teorema. ¿Es esto cierto? Si es así, debería de ser obvio, o ¿tiene un nombre? Si no es cierto, no es un simple argumento de por qué es verdad? (nuestra $f$ se $f(t)=e^{-rt^2}$ para algunos fijos real $r>0$).

Answer 1

Esto se llama Diferenciación bajo el signo integral, o a veces como Feynman integración debido a una serie de anécdotas sobre Richard Feynman y su uso de la técnica. Hay una prueba de ello en la página de la wikipedia, y usted podría ser capaz de descubrirlo por ti mismo. Esencialmente, tenemos que $$\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)dt = f(x,b(x))b'(x)- f(x,a(x))a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}f(x,t)dt$$

También tenemos que $a' = b' = 0$ desde $a$ e $b$ son constantes, y la derivada parcial con respecto a $x$ de el integrando en la transformada de Fourier es exactamente lo que usted desea. Esto da el resultado deseado.

Answer 2

No es en absoluto evidente. El resultado se sigue de lo que se llama el Teorema de Convergencia Dominada.

Generalmente se enseñan en el curso de teoría de la medida. Tal vez usted no ha tomado teoría de la medida todavía.

Algunas buenas referencias para el análisis de Fourier son introducción al análisis armónico, por Katznelson, una introducción al análisis de Fourier por Pinsky.

Ellos hacen uso intenso de la teoría de la medida. Para la teoría de la medida, se puede ver el real y el análisis complejo por Rudin. Teoría de la medida por Halmos también es bueno.

Para un poquito de introducción al análisis de Fourier evitando la teoría de la medida, ver Un primer curso en análisis armónico por Anton Dietmar.