Encontrar una solución particular para $\frac{\mathrm{d}^2R}{\mathrm{d}r^2}+\frac1r\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}+\alpha^2R=J_0(\alpha r)$

Question

Motivación

Tengo la siguiente ecuación diferencial de Bessel no homogénea $$\frac{\mathrm{d}^2R}{\mathrm{d}r^2}+\frac1r\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}+\alpha^2R=J_0(\alpha r)$$

Quiero encontrar la solución general de esta EDO. Sé que la solución general se puede escribir como

$$R=R_h+R_p$$

donde $R_h$ es la base de la EDO homogénea y se sabe que es

$$R_h=C_1 \, J_0(\alpha r) + C_2 \, Y_0(\alpha r).$$

A continuación, para encontrar la solución particular $R_p$ se puede utilizar el método de variación de los parámetros para obtener una solución particular utilizando las homogéneas. Sin embargo, esto conducirá a alguna solución desordenada con integrales duras ¡! Como el ARCE o WOLFRAM ambos utilizan esta técnica su resultado no es valioso para mí. Sé que

$$R_p=\frac1{2 \alpha^2}\left[\alpha rJ_1(\alpha r)\right] \tag{*}$$

y se puede verificar poniéndolo en la EDO. De hecho, he visto esto en algún artículo publicado.

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Pregunta

¿Existe una elegante método para obtener dicha solución particular mencionada en $(*)$ ?

Answer 1

Utilizando la variación del método constante. Buscando la solución en la forma $$R_p = C(r)J_0(\alpha r),$$ entonces $$\dfrac d{dr}R_p = \dfrac d{dr}C(r)J_0(\alpha r) + C(r)\dfrac d{dr}J_0(\alpha r),$$ $$\dfrac{d^2}{dr^2}R_p = \dfrac{d^2}{dr^2}C(r)J_0(\alpha r) + 2\dfrac d{dr}C(r)\dfrac d{dr}J_0(\alpha r) + C(r)\dfrac{d^2}{dr^2}J_0(\alpha r).$$ La sustitución a la ecuación no homogénea da: $$J_0(\alpha r)\dfrac{d^2}{dr^2}C(r) + \left(2\dfrac{d}{dr}J_0(\alpha r)+\dfrac1rJ_0(\alpha r)\right)\dfrac{d}{dr}C(r) + \left(\dfrac{d^2}{dr^2}J_0(\alpha r)+\dfrac1r\dfrac d{dr}J_0(\alpha r)+\alpha^2J_0(\alpha r)\right)C(r) = J_0(\alpha r),$$ $$J_0(\alpha r)\dfrac{d^2}{dr^2}C(r) + \left(\dfrac1rJ_0(\alpha r) + 2\dfrac d{dr}J_0(\alpha r)\right)\dfrac{d}{dr}C(r) = J_0(\alpha r),$$ Haz la sustitución: $$D(r)=\dfrac{d}{dr}C(r),$$ entonces $$J_0(\alpha r)\dfrac{d}{dr}D(r) + \dfrac1rJ_0(\alpha r)D(r) + 2\dfrac d{dr}J_0(\alpha r)D(r) = J_0(\alpha r),$$ $$J_0^2(\alpha r)D(r) + 2rJ_0(\alpha r)\dfrac d{dr}J_0(\alpha r)D(r) + rJ_0^2(\alpha r)\dfrac{d}{dr}D(r) = rJ_0^2(\alpha r),$$ $$\dfrac{d}{dr}\left(rJ_0^2(\alpha r)D(r)\right) = rJ_0^2(\alpha r)$$
Utilice la fórmula $\int zJ_0^2(z)dz = \dfrac{z^2}2\left(J_0^2(z)+J_1^2(z)\right):$ $$rJ_0^2(\alpha r)D(r) = \dfrac{r^2}{2}\left(J_0^2(\alpha r)+J_1^2(\alpha r)\right),$$ $$D(r) = \dfrac{r}{2}\dfrac{J_1^2(\alpha r)+J_1^2(\alpha r)}{J_0^2(\alpha r)},$$ $$\dfrac d{dr}C(r) = \dfrac1{2\alpha}\dfrac{d}{dr}\left(\dfrac{rJ_1(\alpha r)}{J_0(\alpha r)}\right),$$ donde $$\dfrac{dJ_0(\alpha r)}{dr}=-\alpha J_1(\alpha r),\quad \dfrac{dJ_1(\alpha r)}{dr}=\alpha\left(J_0(\alpha r)-\dfrac1{\alpha r}J_1(\alpha r)\right)$$

$$C(r) = \dfrac r{2\alpha}\dfrac{J_1(\alpha r)}{J_0(\alpha r)},$$ $$\boxed{R_p = \dfrac r{2\alpha}J_1(\alpha r)}$$

Y lo mismo para $Y_0(\alpha r).$

Answer 2

Comience con la ecuación $$ \frac{d^2}{dr^2}J_{0}(\alpha r)+\frac{1}{r}\frac{d}{dr}J_{0}(\alpha r)+\alpha^2J_{0}(\alpha r)=0. $$ $J_0$ tiene una serie de potencia convergente en todas partes. Así que se puede diferenciar con respecto a $\alpha$ e intercambiar órdenes de diferenciación: $$ \frac{d^2}{dr^2}(rJ_{0}'(\alpha r))+\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(rJ_0'(\alpha r))+\alpha^2(rJ_0'(\alpha r))+2\alpha J_{0}(\alpha r)=0. $$ Por lo tanto, $R(r)=-\frac{r}{2\alpha}J_{0}'(\alpha r)=-\frac{1}{2\alpha^2}(\alpha r)J_{0}'(\alpha r)$ es una solución de $$ R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)+\alpha^2R(r)=J_0(\alpha r). $$