¿Cómo resolver la ecuación funcional$f(x + f(x +y ) ) = f(2x) + y$?

Question

Encuentre todas las funciones$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ que satisfagan la siguiente ecuación:

PS

La única función que he encontrado es$$ f(x + f(x +y ) ) = f(2x) + y,\quad \forall x,y\in\mathbb{R}$, pero creo que hay más.

Answer 1

Si colocamos$x=0$ obtenemos$$f(f(y)) = f(0)+y$$ so $ f$ is injective. Now let $ y = 0$, then $$f(x+f(x)) = f(2x)\Longrightarrow x+f(x) = 2x$$ so $ f (x) = x $ for all $ x $.

Answer 2

Dado$z$, vamos a$x=f(z)$. y$y=z-x.$ Entonces obtienes:

PS

De esto obtienes$$f(x+f(x+y))=f(2f(z))$

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Una linda variación de la muy buena respuesta de Christian:

$$ \begin{align} 2z+f(0)&=f(f(2z))&[x=0,y=2z]\\ &=f(f(z+f(z)))&[x=z,y=0]\\ &=z+f(z)+f(0)&[x=0,y=z+f(z)] \end {align} $$

Asi que $ and $

Esto es evitar la referencia a ser una inyección, al utilizar implícitamente el inverso correcto$f(2x)+y=f(2f(z))+z-f(z)$