Probabilidad de cabezas$n$ si se lanza la moneda hasta 8 colas.

Question

Supongamos que se lanza una moneda justa hasta que se producen 8 colas. Sea X el número de cabezas que aparecen. ¿Cuál es la función de probabilidad de masa de X? Respondí${n- 1 \choose 7}*(0.5)^n$, ya que es una variable aleatoria binomial negativa pero esto se marcó mal. No veo cómo llegar a ninguna otra respuesta. Cualquier ayuda es apreciada!

Answer 1

Supongamos que$T$ es el número de vueltas hasta (e incluyendo) el$8$ th tail. Entonces$T$ es una variable aleatoria binomial negativa, con$$ \mathbb{P}(T=n)={n-1\choose 7}2^{-n} $ $ para$n=8,9,10,\dots.$

Como$X=T-8$, se sigue que$$ \mathbb{P}(X=n)=\mathbb{P}(T=n+8)={n+7\choose 7}2^{-n-8}$ $ para$n=0,1,2,\dots$.