¿Cuál es la probabilidad de que voy a ganar \$25?

Question

Puedo ir a un casino con \$100. At the casino, I play a game in which I get \$1 si voy a ganar, y perder \$1 if I lose. The probability of me winning is $\frac{1}{4}$, and I must either win or lose every time I play this game. I will keep playing this game until I either earn \$25 o perder todo mi dinero. ¿Cuál es la probabilidad de que voy a ganar \$25?

Originalmente se pensaba que la respuesta era " $\frac{1}{4^{25}}$ porque debo ganar una red de 25 veces. Sin embargo, me di cuenta de que el problema era mucho más complicado, porque yo podía ganar y perder muchas veces. Además, si puedo ir a la quiebra, tengo que dejar de jugar. ¿Qué herramientas de la probabilidad puedo pestillo de resolver este problema?

Answer 1

Puedo jugar 25 partidos (win) o jugar 27 partidos (ganar 26 de perder 1) o jugar al 29 (ganar 27, pierde 2), ...

La probabilidad de ganar n juegos de k los juegos de jugar es $\binom{k}{n}(1/4)^n(3/4)^{k-n}$ por lo que el total de la probabilidad debe ser \begin{align} \sum_{x=0}^{\infty}\binom{25+2x}{x}(1/4)^{25+x}(3/4)^{x} \end{align} Sin embargo, este no tiene en cuenta el hecho de que usted puede perder todo su dinero para un mayor número de partidos jugados, o puede pasarse \$25 so it is an upper bound: $2.3604707743147794*10^{-12}$

Answer 2

Deje $p_n$ ser la probabilidad de que empezar con $n$ dolares va a llegar $\$125$ before you reach $\$0$. Luego tenemos a la recurrencia

$$ p_n=\frac14p_{n+1}+\frac34p_{n-1} $$

para $0\lt n\lt125$ y las condiciones de frontera, $p_0=0$ e $p_{125}=1$. La ecuación característica de la recurrencia es

$$ \frac14\lambda^2-\lambda+\frac34=0 $$

con las soluciones de $\lambda=1$ e $\lambda=3$. Por lo tanto la solución general es

$$ p_n=c_1+c_23^n\;, $$

y las condiciones de frontera de rendimiento $c_1+c_2=0$ e $c_1+c_23^{125}=1$, con solución de $c_2=-c_1=1/(3^{125}-1)$, por lo que

$$ p_n=\frac{3^n-1}{3^{125}-1} $$

y

$$ p_{100}=\frac{3^{100}-1}{3^{125}-1}\approx3^{-25}\approx1.18\cdot10^{-12}\;, $$

dado por Sasha en un comentario.

Answer 3

Usted tiene un $1$-dimensiones de paseo aleatorio en el que saltar hacia adelante con una probabilidad de $1/4$ y hacia atrás con una probabilidad de $3/4$.

Deje $X_k$ ser una variable aleatoria que denota la cantidad de dinero que usted tiene después de $k \geq 0$ juegos. Se empieza con 100 dólares, por lo $X_0 = 100$ con una probabilidad igual a $1$, es decir, no hay incertidumbre sobre el estado inicial para $\mathbb{P} (X_0 = 100) = 1$. Desde que perder de 1 dólar con una probabilidad de $3/4$ y ganar un dólar con una probabilidad de $1/4$, tenemos que $\mathbb{P} (X_1 = 99) = 3/4$ e $\mathbb{P} (X_1 = 101) = 1/4$. Para obtener la función de masa de probabilidad para $k \geq 2$, el uso de la matriz de formulación de las cadenas de Markov

$$\pi_{k+1}^T = \pi_k^T P$$

donde $\pi_0$ es la probabilidad de vector cuyas $100$-ésima componente es uno y el resto son cero. Matriz $P$ es tridiagonal. Desea calcular $\pi_{\infty}^T = \pi_0^T P^{\infty}$. Hacer que el final de los estados de absorción o sumideros, es decir, que la diagonal de $P$ será $(1,0,\dots,0,1)$. Para obtener más información, echa un vistazo a este libro.