¿Cómo se determina si o no la serie infinita $$\sum_{n=1}^\infty \sin^n(n)$$ converge? Sospecho que no convergen absolutamente, pero no tengo idea de cómo probar/refutar la convergencia o confirmar/desmentir la convergencia absoluta. Ayuda?
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Roger Hoover
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La respuesta es negativa. Citando la primera parte de la respuesta que he dado a esta cuestión,
El número irracional $\frac{\pi}{2}$ tiene un número infinito de convergents $\frac{p_n}{q_n}$ con un denominador impar, por lo tanto $\left|\frac{p_n}{q_n}-\frac{\pi}{2}\right|\leq\frac{1}{q_n^2}$ le da: $$ \left|\sin(p_n)\right| = \left|\sin\left(\frac{\pi}{2}q_n+\frac{\theta}{q_n}\right)\right|=\left|\cos\frac{\theta}{q_n}\right|,\quad |\theta|\leq 1,$$ $$ \left|\sin(p_n)\right|\geq 1-\frac{1}{q_n^2}$$ por lo tanto $\left|\sin n\right|^n$ es mayor que $\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n$ infinitamente a menudo.
En particular, el término principal de la serie no converge a cero, por lo que dicha serie no es convergente (ya sea condicional o absoluta).
