Contando todos los homomorfismos de $S_4$ a $\mathbb{Z_6}$

Question

Tengo que contar el número de homomorfismos de $S_4$ a $\mathbb{Z_6}$ .

Un enfoque que conozco es encontrar el posible núcleo de homomorfismo de $S_4$ a $\mathbb{Z_6}$ .

Estoy utilizando otro enfoque encontrando los generadores de $S_4$ . Sabemos que $S_4$ puede ser generado por un $2$ -ciclo, digamos $\sigma$ y un $3$ -ciclo, digamos $\tau$ : Así, cualquier homomorfismo $f\colon S_4\to \mathbb{Z_6}$ se puede determinar encontrando $f(\tau)$ y $f(\sigma)$ completamente. Está claro que $f(\sigma)^2=1$ desde $\sigma^2=1$ y $f(\tau)^3=1$ desde $\tau^3=1$ . Ahora tenemos que buscar el posible número de elementos en $Z_6$ cuyo orden divide $2$ y $3$ respectivamente.

Mi confusión: Sabemos que $S_4$ también puede ser generado por un $2$ -ciclo y un $4$ -ciclo. Tal vez, el procedimiento escrito anteriormente puede dar resultados erróneos en tal caso, ya que el orden de cuatro ciclos es $4$ . No soy capaz de entender en qué me estoy equivocando.

Estaría muy agradecido si alguien pudiera aclarar mi duda. Muchas gracias por su tiempo.

Answer 1

Esto es muy similar a otra pregunta reciente que pide encontrar todos los homomorfismos de $S_4$ a $\Bbb Z_2$ . Ciertamente, una de las formas más sencillas de responder a su pregunta es determinar las posibles imágenes de una transposición $\tau$ . Una vez que sepa $\phi(\tau)$ para alguna transposición $\tau$ has descrito completamente el homomorfismo $\phi$ ya que las transposiciones generan $S_n$ y son todos conjugados (de modo que su imagen es la misma en el grupo objetivo abeliano). La única restricción de $\phi(\tau)$ es que ser de orden $2$ . Por lo tanto,

Si $G$ es un grupo abeliano, existe un morfismo no trivial $S_n\to G$ para cada elemento $g\in G$ o pedir $2$ (y el morfismo trivial, por supuesto).

Sólo hay un elemento de orden $2$ en $\Bbb Z_6$ el elemento $3$ de modo que hay precisamente un morfismo no trivial $S_4\to\Bbb Z_6$ (más el morfismo trivial, por supuesto).