$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ st $f(\frac{1}{2^n})=0 \forall n \in \mathbb{N}$ , mostrar $f'(0)=f''(0)=0$

Question

Deje$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser el doble función derivable tal que $f(\frac{1}{2^n})=0 \forall n \in \mathbb{N}$. Mostrar que $f'(0)=f''(0)=0$

La aplicación de decir teorema del valor en $(\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n-1}})$ vemos que $\exists c_n$ st $f'(c_n)=\frac{f(\frac{1}{2^{n-1}})-f(\frac{1}{2^{n}})}{\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n}}}$ , lo que $f'(c_n) =0$ $\implies$ $\lim_{n\to \infty}f'(c_n)=0 \implies f'(0)=0$

Pero no los puedo usar argumento similar para $f''$ ya que no se sabe si es continua o no!

Answer 1

Sugerencia: Para cualquier secuencia $x_n \to 0$ con $x_n \neq 0$ para todos los $n$, usted tiene

$$f''(0) = \lim_{n\to\infty} \frac{f'(x_n)-f'(0)}{x_n}.$$

Escoger el derecho de la secuencia se obtiene el resultado rápidamente.

Por ejemplo, la secuencia de $(c_n)$ de los ceros de $f'$, con $c_n \in \left(\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n-1}}\right)$ cuya existencia se estableció en la pregunta. A continuación, cada uno de los cocientes es $0$, por lo tanto así es el límite.

Answer 2

Un argumento alternativo es de anotar el segundo orden, el polinomio de Taylor $P$ de % de $f$ a $0$ (que, dada la hipótesis, sabemos que existe). Que tiene la propiedad de que

$$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-P(x)}{x^2}=0. \tag{$\estrella de$}$$

(Set $P(x)=f(0)+f'(0)x+\frac12 f''(0)x^2$ y de utilización ($\star$) cuando establecemos $x=2^{-n}$ a mostrar $f'(0)=f''(0)=0$.)