La determinación de la Forma Canónica de Jordan $18\times 18$ matriz

Question

Dejar que Un ser $18\times 18$ matrix sobre la $\mathbb{C}$ con polinomio característico igual a $$ (x-1)^6(x-2)^6(x-3)^6 $$ y un polinomio mínimo igual a $$ (x-1)^4(x-2)^4(x-3)^3. $$ Suponga $(A-I)$ ha nulidad $2$, $(A-2I)$ ha nulidad 3, y $(A-3I)^2$ ha nulidad 4. Encontrar la forma canónica de Jordan de A.

Para $\lambda=1$, me imagino que el mayor bloque es una $4\times 4$ (ya que la multiplicidad de la raíz es $4$ en el mínimo polinomio), y dado que la nulidad es $2$, que no se $2$ cuadras en total, lo que obliga al otro bloque a se $2\times2$.

Para $\lambda=2$, me imagino que el mayor bloque es una $4\times4$, hay 3 bloques, por lo que los otros $1\times 1$ matrices.

Para $\lambda=3$, El mayor bloque es una $3\times 3$ matriz. Sin embargo, no estoy seguro de cómo la nulidad de $(A-3I)^2$ determina la nulidad de $(A-3I)$.

Cualquier información sobre este problema, sería muy valioso, ya que estoy tratando de enseñar a mí mismo de este proceso.

Answer 1

La siguiente auxiliar resultado es necesario para resolver esta cuestión. Veamos un $n\times n$ Jordania bloque $$ B=\left(\begin{array}{ccccc} \lambda&1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda&1&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&\lambda&1\\ 0&\cdots&\cdots&0&\lambda \end{array}\right). $$ Si $0\le k\le n$, entonces podemos ver que $(B-\lambda I)^k$ tiene una diagonal de longitud $n-k$ lleno de $1$s. Por lo tanto, su rango es $n-k$, y, por tanto, su nulidad es igual a $k$. Si $k>n$, entonces la nulidad de este bloque es, por supuesto,$n$. Podemos resumir esto diciendo que la nulidad de $(B-\lambda I)^k$ es $\min\{n,k\}$.

El OP puede utilizar para controlar el caso de $\lambda=3$. Suponga que los bloques de Jordan asociado a este autovalor tiene el tamaño de $n_1\ge n_2\ge\cdots\ge n_m$. El polinomio característico nos dice que $n_1+n_2+\cdots+n_m=6.$ Por su parte, el polinomio mínimo nos dice que $n_1=3$. Nos quedamos con tres posibilidades: A) $m=2,n_1=n_2=3$, B) $m=3, n_1=3,n_2=2,n_3=1$, C) $m=4, n_1=3, n_2=n_3=n_4=1$. La aplicación de la observación anterior a todos los bloques de Jordan vemos que la nulidad de $(A-3\lambda I)^2$ es $$ \sum_{j=1}^m\min\{n_j,2\}, $$ que se suma a $2+2=4$ en el caso a, $2+2+1=5$ en el caso B, y $2+1+1+1=5$ en el caso de C. por Lo tanto nos quedamos con Un caso como la única posibilidad, y se puede concluir que la matriz de $A$ dos $3\times3$ Jordania bloques beloging a $\lambda=3$.